设 G = < a > G=<a> G=<a> 是循环群
定理一： 若 G G G 为无限循环群，则 G G G 的生成元只有 a a a 和 a − 1 a^{-1} a−1
定理二： 若 G G G 为 n n n 阶有限循环群，则 G G G 的生成元共有 φ ( n ) \varphi(n) φ(n)个,它们是 a k ( 1 ⩽ k ⩽ n , ( k , n ) = 1 a^k(1\leqslant k\leqslant n,(k,n)=1 ak(1⩽k⩽n,(k,n)=1).
定理一证明： 显然 ⟨ a − 1 ⟩ = ⟨ a ⟩ = G . \langle a^{-1}\rang=\langle a\rangle=G. ⟨a−1⟩=⟨a⟩=G. 另一方面，由于 [ G : ⟨ a n ⟩ ] = ∣ n ∣ [G:\lang a^n\rang]=|n| [G:⟨an⟩]=∣n∣,可知 ⟨ a n ⟩ = G ⟺ ∣ n ∣ = 1 ⟺ n = ± 1 \lang a^n\rang=G\iff|n|=1\iff n=\pm 1 ⟨an⟩=G⟺∣n∣=1⟺n=±1
定理二证明： 由于 a a a 的阶为 n n n,从而 a k a^k ak 的阶是 n / ( k , n ) n/(k,n) n/(k,n).于是 ⟨ a k ⟩ = G ⟺ a k \lang a^k\rang=G\iff a^k ⟨ak⟩=G⟺ak 的阶为 n n n ⟺ ( k , n ) = 1 \iff (k,n)=1 ⟺(k,n)=1