联通平面图的欧拉公式及推广
联通平面图的欧拉公式
联通的平面图分割的区域的个数+顶点的个数-边界的个数=2
R记区域个数 ，V记顶点个数(图的阶数) ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2
归 纳 法 的 证 明 ： 当 E = 0 时 ， R = 1 , V = 1 , R + V − E = 2 。 设 当 E = k 时 ， R + V − E = 2 成 立 E = k + 1 { 无 回 路 ( 树 ) ： 增 加 一 条 边 并 且 没 有 形 成 回 路 所 以 也 增 加 了 一 片 叶 R + ( V + 1 ) − ( E + 1 ) = 2 有 回 路 : 增 加 一 条 边 并 且 形 成 回 路 所 以 也 增 加 了 一 个 区 域 ( R + 1 ) + V − ( E + 1 ) = 2 \Large 归纳法的证明：\\ \normalsize 当E=0时，R=1,V=1,R+ V- E= 2。设当E=k时，R+ V- E= 2成立\\ E=k+1\left\{\begin{array}{l}\mathrm{无回路}(树)：\mathrm{增加一条边并且没有形成回路所以也增加了一片叶}R+(V+1)-(E+1)=2\\\mathrm{有回路}\;\;\;\;\;\;:\;\;\mathrm{增加一条边并且形成回路所以也增加了一个区域}\;(R+1)+V-(E+1)=2\end{array}\right. 归纳法的证明：当E=0时，R=1,V=1,R+V−E=2。设当E=k时，R+V−E=2成立E=k+1{ 无回路(树)：增加一条边并且没有形成回路所以也增加了一片叶R+(V+1)−(E+1)=2有回路:增加一条边并且形成回路所以也增加了一个区域(R+1)+V−(E+1)=2
联通平面图的欧拉公式的推广：
K5和K3,3非平面图的证明
K5正则图，每个顶点的度数都是5的正则图
V5个顶点，E10条边，E≤3V-6，10不小于等于9
K3,3 ，两部分是三个顶点的二部图
形成一个面的最小次数是4,至少需要四个顶点的四条边才能将平面划分出一个区域，所以边数L=4，E≤L * (V-2)/(L-2)，9不小于等于8