矩阵的向量化及内积

定义1. 设矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ , 把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素按行的顺序排列成一个列向量：
$vec\boldsymbol{A} = (a_{11},a_{12},\cdot\cdot\cdot,a_{1n},a_{21},a_{22},\cdot\cdot\cdot,a_{2n},\cdot\cdot\cdot,a_{m1},a_{m2},\cdot\cdot\cdot,a_{mn})^T$

则称向量 $vec\boldsymbol{A}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 按行展开的列向量。

定义2. 设矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})\in R^{m\times n}$ , 把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素按列的顺序排列成一个列向量：
$vec\boldsymbol{A} = (a_{11},a_{21},\cdot\cdot\cdot,a_{n1},a_{12},a_{22},\cdot\cdot\cdot,a_{n2},\cdot\cdot\cdot,a_{1m},a_{2m},\cdot\cdot\cdot,a_{nm})^T$

则称向量 $vec\boldsymbol{A}$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 按列展开的列向量。

定义3. 设 $\boldsymbol{A,B}\in R^{n\times n}$，称
$\boldsymbol{A\cdot B} = <\boldsymbol{A,B}>=Tr(\boldsymbol{A^TB})=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}=(vec\boldsymbol{A})^Tvec\boldsymbol{B}$

为矩阵 $\boldsymbol{A,B}$的内积。其中， $Trace(\boldsymbol{A})$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹，简记为 $Tr(\boldsymbol{A})$。

以上内容编辑：崔健棣