Codeforces Round #703 (Div. 2) D. Max Median

Max Median

Examples

input

5 3
1 2 3 2 1

output

2

input

4 2
1 2 3 4

output

3

题目大意

给定一个长度为n的序列a，求a的所有连续且长度大于等于k的子序列里中位数的最大值。

分析

由于1<=a_i<=n，因此中位数的取值为1~n，如果已经确定x是一个中位数，那么中位数的最大值一定>=x，这就说明中位数的最大取值具有单调性，考虑用二分来做。设左端点为l，右端点为r，初始条件l=1，r=n，每次取mid=(l+r+1)>>1，问题的关键在于如何判断是否存在一个中位数>=mid，这里用到一个巧妙的做法，将所有小于mid的数标记为-1，大于等于mid的数标记为1，这样就得到了一个只包含1和-1的序列。如果一个区间的中位数>=mid，那么这个区间（转换为1和-1后的区间）的和一定>0，根据这个结论，还需要求一下前缀和，由于序列长度是大于等于k的，因此需要寻找所有长度大于等于k的区间是否有和是大于0的，这里还用到了前缀最小值进行优化。

时间复杂度O(nlog(n))

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+10;
int a[N];
int b[N];
int n,k;

bool check(int mid)
{
    
    
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
    
    
		if(a[i]>=mid) b[i]=1;
		else b[i]=-1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]+=b[i-1];
	int flag=0;
	int mn=0;  //最小值
	for(int i=k;i<=n;i++)
	{
    
    
		mn=min(mn,b[i-k]);
		if(b[i]-mn>0)
		{
    
    
			flag=1;
			break;
		}
	}
	return flag;
}

int main() 
{
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int l=1,r=n;
    while(l<r)
    {
    
    
    	int mid=(l+r+1)>>1;
    	if(check(mid)) l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<l<<endl;
    
    return 0;
}

注意

这里mid=(l+r+1)>>1是为了避免死循环，是由于位运算向下取整引起的。