题目地址：
https://www.acwing.com/problem/content/888/
给定 n n n组询问，每次询问给定两个正整数 a a a和 b b b，求 ( a b ) a\choose b (ba)。答案模 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7返回。
数据范围：
1 ≤ n ≤ 10000 1\le n\le 10000 1≤n≤10000
1 ≤ b ≤ a ≤ 1 0 5 1\le b\le a\le 10^5 1≤b≤a≤105
直接用公式。我们的目标是求出 ( a b ) m o d ( 1 0 9 + 7 ) {a\choose b} \mod (10^9+7) (ba)mod(109+7)，而 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7是个素数。令 p = 1 0 9 + 7 p=10^9+7 p=109+7，那么我们要求 a ! ( a − b ) ! b ! m o d p \frac{a!}{(a-b)!b!}\mod p (a−b)!b!a!modp。可以预处理出来 n ! m o d p n!\mod p n!modp和 ( n ! ) − 1 m o d p (n!)^{-1}\mod p (n!)−1modp，而预处理这个，可以通过递推关系来做。因为 n ! = ( n − 1 ) ! n n!=(n-1)!n n!=(n−1)!n，而 ( n ! ) − 1 = ( ( n − 1 ) ! ) − 1 ( n ) − 1 (n!)^{-1}=((n-1)!)^{-1}(n)^{-1} (n!)−1=((n−1)!)−1(n)−1（这里的逆是指模 p p p的逆），所以每次只需要算 n − 1 n^{-1} n−1即可。关于模素数 p p p的逆元求法，可以参考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/113823892。回答询问的时候，只需要输出 a ! ( ( a − b ) ! ) − 1 ( b ! ) − 1 m o d p a!((a-b)!)^{-1}(b!)^{-1}\mod p a!((a−b)!)−1(b!)−1modp。代码如下：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010, mod = 1e9 + 7;
int fact[N], infact[N];
int fast_pow(int a, int k, int p) {
int res = 1;
while (k) {
if (k & 1) res = (long) res * a % p;
a = (long) a * a % p;
k >>= 1;
}
return res;
}
int main() {
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) {
fact[i] = (long) fact[i - 1] * i % mod;
infact[i] = (long) infact[i - 1] * fast_pow(i, mod - 2, mod) % mod;
}
int n;
cin >> n;
while (n--) {
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << ((long) fact[a] * infact[b] % mod * infact[a - b] % mod) << endl;
}
return 0;
}
预处理时间复杂度 O ( N log p ) O(N\log p) O(Nlogp)，每次询问 O ( 1 ) O(1) O(1)，空间 O ( N ) O(N) O(N)， N N N是输入参数范围。