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https://www.acwing.com/problem/content/889/

给定 $n$ 组询问，每次询问给定三个正整数 $a$ ， $b$ 和 $p$ ，其中 $p$ 是素数。求 ${a\choose b}\mod p$ 。

数据范围：
$1\le n\le 20$
$1\le b\le a\le 10^{18}$
$1\le p\le 10^5$

先介绍Lucas定理，对于非负整数 $m$ ， $n$ 和素数 $p$ ，有： $\choose n}\equiv {m\mod p\choose n\mod p}{m/p\choose n/p}(\mod p)$ 换言之，有： $\choose n}\equiv \prod_{i=0}^{k}{m_i \choose n_i}(\mod p)$ 其中 $m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+...+m_1p+m_0$ ， $n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+...+n_1p+n_0$ 即把 $m$ 和 $n$ 写成 $p$ 进制整数。证明如下，由于 $p$ 是素数，所以 $(1+x)^{p^k}\equiv 1+x^{p^k}(\mod p)$ 。考虑 $1+x)^m$ ，有： $(1+x)^{m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+...+m_1p+m_0}\\=((1+x)^{p^k})^{m_k}((1+x)^{p^{k-1}})^{m_{k-1}}...((1+x)^p)^{m_1}(1+x)^{m_0}\\\equiv (1+x^{p^k})^{m_k}(1+x^{p^{k-1}})^{m_{k-1}}...(1+x^p)^{m_1}(1+x)^{m_0}(\mod p)$ 考虑 $x^n$ 的系数，有： ${m\choose n}\equiv \prod_{i=0}^{k}{m_i \choose n_i}(\mod p)$ $\equiv$ 左边是显然的，其右边，由于当 $k\ge p$ 的时候有 ${m\choose k}\equiv 0(\mod p)$ ，所以可以只考虑 $k < p$ 的时候的系数。

接下来只需要套用上面的公式即可，要求 $m\choose n$ ，对于 ${m\mod p\choose n\mod p}$ 可以直接求，而对于 ${m/p\choose n/p}$ 可以递归地去求。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int p;

// 快速幂
int fast_pow(int a, int k) {
    
    
    int res = 1;
    while (k) {
    
    
        if (k & 1) res = (long) res * a % p;
        a = (long) a * a % p;
        k >>= 1;
    }

    return res;
}

int C(int a, int b) {
    
    
    int res = 1;
    // 对于res，从a向下乘b步，然后除以b阶乘（乘以其逆元）
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--) {
    
    
        res = (long) res * j % p;
        res = (long) res * fast_pow(i, p - 2) % p;
    }

    return res;
}

int lucas(long a, long b) {
    
    
    if (a < p && b < p) return C(a, b);
    return (long) C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}

int main() {
    
    
    int n;
    cin >> n;

    while (n--) {
    
    
        long a, b;
        cin >> a >> b >> p;
        cout << lucas(a, b) << endl;
    }

    return 0;
}

时间复杂度 $O(\log_pN N\log p)=O(N\log N)$ ，空间 $O(\log_pN)$ ， $N$ 是输入范围。

【ACWing】887. 求组合数 III

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