分析

看上去题目的条件非常苛刻，但我们仔细分析题面可以发现， $S$ 一定不含有平方因子：因为LCM里的数都是质数，指数的最大值都是1，而LCM的本质就是取每个因子的指数最大值，所以S就是给出了一个质数集合。
所以题目实际是给出了一个指数集合，而背包体积为V，让你求用这个质数集合装满背包的方案数，也就是把题目转化为了一个背包问题。
而我们发现， $n$ 非常大，无法进行任何形式的DP，但相比之下S集合就非常小，最小的8个质数相乘也就超过S了，所以S最多只含有7个质数。
考虑这样一种表示方案的方法：将一种方案表示为一个长度为 $k$ 的向量 $<a_1,a_2,...,a_k>$ ，表示第 $i$ 个物品被选择了 $a_i$ 。这个 $a_i$ 可以表示成 $x*(\frac{S}{P_i})+y$ ，也就是分为对 $\frac{S}{P_i}$ 的倍数和余数来处理， $x$ 不同或者 $y$ 不同意味着方案就是不同的。如果 $x$ 不同，那么 $x$ 每增大 $1$ ，就会占用 $S$ 的体积。如果要分配每个方案的 $x$ ，等价于将 $\frac{n}{S}$ 个物品分到 $k$ 个盒子内，根据隔板法我们可以得到 $C_{\frac{n}{S}+k-1}^{k-1}$ 。
而 $y$ 的部分我们可以进行背包，因为每个物品的 $y$ 都不超过 $\frac{S}{P_i}$ ，所以总容量不会超过 $y$ 的和（虽然也有 $S*7$ 那么大，但是背包是可以跑过的）。
对于 $y$ 的贡献我们跑背包的时候可以进行分组前缀和优化，而且我们可以发现 $x,y$ 的贡献是相互独立的，说明我们可以将方案相乘。
可是这里面却包含了 $S$ 的很多倍，但不能确定究竟是几倍，所以我们需要进行枚举，就是枚举 $y$ 部分总共占用的容量为 $i*S+(n\%S)$ 来做。
但我们在求组合数的时候又会出现问题， $n$ 非常大，不能直接阶乘预处理，而 $mod$ 又有 $1e9+7$ ，所以也不能用卢卡斯定理做，但我们发现 $k$ 非常小，所以我们可以预处理 $k!$ 的逆元，然后暴力 $O(k)$ 计算就行了。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>inline void read(T &x,T f=1,char ch=' ') {
    x=0;while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    x*=f;
}
const int mod=1e9+7;
namespace {
    inline int Add(const int &x,const int &y) {
        int res=x+y;
        return res>=mod?res-mod:res;
    }
    inline int Sub(const int &x,const int &y) {
        int res=x-y;
        return res<0?res+mod:res;
    }
    inline int Mul(const int &x,const int &y) {
        return 1ll*x*y%mod;
    }
    inline int Pow(int x,int y=mod-2,int res=1) {
        for(;y;x=1ll*x*x%mod,y>>=1)
            if(y&1)
                res=1ll*res*x%mod;
        return res;
    }
}
int inv[15],q;
inline int C(const ll &n,const int &k) {
    if(n<k)
        return 0;
    int res=1;
    for(ll i=n;i>n-k;--i)
        res=Mul(res,i%mod);
    return Mul(res,inv[k]);
}
ll S,sumd,V,n,ans;
vector<int>d;
int f[14000001],g[14000001];
int main() {
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=10;++i)
        inv[i]=Mul(inv[i-1],i);
    inv[10]=Pow(inv[10]);
    for(int i=9;~i;--i)
        inv[i]=Mul(inv[i+1],i+1);
    // cerr<<C(5,2)<<endl;
    read(S),read(q);ll x=S;f[0]=g[0]=1;
    for(int i=2;i<=x;++i)
        if(x%i==0) {
            d.emplace_back(i);
            sumd+=i;
            x/=i;
            // cout<<"???"<<" "<<x<<" "<<i<<" "<<endl;
            if(x%i==0) {
                for(;q--;puts("0"));
                return 0;
            }
        }
    // cout<<"!!!<<"<<sumd<<endl;
    int m=d.size();
    V=S*m;
    // cout<<V<<" "<<S<<" "<<m<<endl;
    for(int i=0;i<m;++i)
        for(int j=0;j<d[i];++j) {
            // cout<<"???"<<i<<" "<<j<<" "<<d[i]<<endl;
            for(int k=d[i]+j;k<=V;k+=d[i])
                g[k]=Add(g[k-d[i]],f[k]);
            for(int k=d[i]+j;k<=V;k+=d[i])
                f[k]=Sub(g[k],k>=S?g[k-S]:0);
        }
    // for(int k=0;k<=V;++k)
    //  cout<<f[k]<<" "<<g[k]<<endl;
    // cout<<"Done."<<endl;
    while(q--) {
        read(n),n-=sumd,ans=0;// cout<<V<<" "<<n<<" "<<endl;
        for(int v=0;v<=min(V,n);v+=S)
            ans=Add(ans,Mul(f[v+n%S],C((n-v)/S+m-1,m-1)));// ,cout<<f[v+n%S]<<" "<<(n-v)/S+m-1<<" "<<m-1<<endl;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

[BZOJ3462]DZY loves Math II(组合数+背包)

分析

Code

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