分离公理
| 可数公理 | 定义 |
|---|---|
| T 1 T_1 T1 | 点 点 一个开邻域 |
| T 2 T_2 T2 | 点 点 两个开邻域 |
| T 3 T_3 T3 | 点 闭集 两个开邻域 |
| T 4 T_4 T4 | 闭集 闭集 两个开邻域 |
复习内容
1.度量空间是T4空间。
构建分离函数 f = d ( x , A ) d ( x , A ) + d ( x , B ) f=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)} f=d(x,A)+d(x,B)d(x,A)
2. ( R , τ c ) (R,\tau_c) (R,τc)的分离性质：
满足 T 1 T_1 T1分离公理；
不满足 T 2 T_2 T2 分离公理：
如果存在两个开邻域互不相交，则每个开邻域中必然包含不可数个元素，则两个开邻域的余集必然不可数，这与余可数邻域的定义矛盾。
不满足 T 3 T_3 T3分离公理；
不满足 T 4 T_4 T4分离公理。
3.一个有趣的例子：
设 C C C是一个可数无穷集，定义 R R R上的拓扑基为
β = { μ ∖ A ∣ A ⊂ C , μ ∈ R \beta=\{ \mu\setminus A|A\subset C , \mu\in R β={
μ∖A∣A⊂C,μ∈R是开区间 } \} }
此拓扑空间满足 T 2 T_2 T2但不满足 T 3 T_3 T3
我们给出了不满足 T 3 T_3 T3的例子:
闭集： ( − ∞ , 0 ] ∪ { 0 − 1 (-\infty,0]\cup\{0-1 (−∞,0]∪{
0−1上有理数 } ∪ [ 1 , ∞ ) \}\cup[1,\infty) }∪[1,∞)
点：0-1上的某个无理数
如果可以分离，则该点对应的开区域如果不挖去A中点则是一个开集，有不可数个点，而挖去了至多可数个点，因而其开邻域中一定含有不可数个点。
下面考虑闭集的开邻域，因为不挖去点时是开区间，因而不挖去点该开邻域对应的开区间必然是R本身(有理数的稠密性)。
之后对R挖去之多可数个点，那也一定会和点对应的开邻域相交( 因为其中有不可数个点)。
因而产生矛盾，故不满足 T 3 T_3 T3分离公理。
3.存在拓扑空间满足 T 2 T_2 T2、 T 3 T_3 T3分离公理，但是不满足 T 4 T_4 T4分离公理。
本次讨论没能想出该问题的例子，欢迎找到例子的hpy私信哦！（hhh）