深入理解采样定理 + Matlab 仿真 Sa 函数的采样与恢复

• 建议配合国宝老师的视频食用。
  信号与线性系统分析 吴大正 郭宝龙

(1) 采样的说明

1. 为什么要取样

• 我们要使用计算机去处理信号。信号都是连续的，在任意一个非空区间内都有无限个值，但是计算机的内存是一个有限值，只能完成有限的数据存储和运算，所以要进行采样和量化等操作，把信号离散成有限个点就可以使用计算机处理了。当信号在计算机中处理完，按照一定的规则恢复成连续的状态就可以了。
• 注意采样定理和后面 DFT（discrete Fourier transform） 之间的联系。

2. 什么是取样

• 取样就是利用取样脉冲序列从连续信号中 抽取离散的样本值。
  • 从时域上看 $f_s(t)=f(t)\times s(t)$
  • 从频域上看 $F_s(j\omega )=\frac{1}{2\pi }F(j\omega )\ast S(j\omega )$
• 冲激取样（理想取样）的例子
  • 可以看到在时域上是通过乘积完成对应离散点的选取，在频域上完成的是信号频谱的周期延拓。

(2) 采样定理

1. 为什么要有奈奎斯特频率

• 首先要明白一件事，使用采样点恢复出原来的信号需要的是进行一个低通滤波，把频域上的低频波形滤出来就可以了。
• 从上面的图可以看出来，取样在频域中相当于进行了频谱的周期延拓，所以就会出现一个问题，平移距离不够会引起频域波形的重叠，当发生重叠之后就无法完成滤波了，即无法完成信号的恢复了。因此需要对平移的距离有一个限制，也就是采样定理中的奈奎斯特频率。

2. 什么是采样定理

• 一个频谱在区间 $(-{\omega }_m,{\omega }_m)$ 以外为 0 的带限信号 $f(t)$，可唯一的由其在均匀间隔 $T_s[T_s<2\pi /{\omega }_m]$ 上的样值点 $f(n{T}_s)$ 确定。
  • 注意必须是带限信号。像冲激函数这样的就无法取样，因为在频域上的无限意味着在时域信号的存在时间无限趋于 0。
  • 取样频率不能太低，必须 $f_s>2f_m$ 。最低取样频率 $f_s=2f_m$称为奈奎斯特频率。

(3) 信号的恢复

• 参量的说明
  • 低通滤波器的截止角频率：${\omega }_c$，从图上明显可以看出需要有 ${\omega }_m<{\omega }_c<{\omega }_s-{\omega }_m$，为方便取 ${\omega }_c=0.5{\omega }_s$。
  • 采样角频率： ${\omega }_s$，注意根据采样定理 ${\omega }_s>2{\omega }_m$。
  • 带限信号的最大角频率：${\omega }_m$。
• 信号恢复的过程是信号采样过程的逆过程。实际上在进行频域乘积滤波的过程中，时域进行了卷积的平移，平移到不同位置的函数叠加就恢复出原始信号。

(4) Matlab的Sa函数取样仿真

1. 采样信号Sa函数的说明

• Matlab 中自带的函数是 sinc 函数，其形式是 $\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$，我们要在仿真中使用的是 Sa 函数，其形式是 $\frac{sin(t)}{t}$，因此 sa = sinc(t/pi)。
• 代码：

  %% 打印出来sa函数
  t = -20:0.001:20;
  L = length(t);
  x = sinc(t / pi);
  plot(t,x,'LineWidth',3);
  xlabel('t');ylabel('Amplitude'); title('Sa(t)')
  

• 结果：

2. 进行参数的说明及相关计算

• 参数说明
  • $sa(t)$ 的傅里叶变换结果是 $\pi g_2(\omega )$，就是一个门宽为 2 的门函数。因此可以知道 ${\omega }_m=1$。
  • 根据奈奎斯特采样定律，这里选取 ${\omega }_s=2{\omega }_m$，${\omega }_s=1.5{\omega }_m$，${\omega }_s=4{\omega }_m$。分别模拟临界采样，欠采样和过采样三种情况。相应的选取信号还原时低通滤波器的截止频率 ${\omega }_c=0.5{\omega }_s$。
• 这里选取时域的正半轴取样点一共 N 个，下面使用 $\infty$ 推公式，但是最后要用 $N$。
• 信号取样
  • 冲激取样函数：${\delta }_{T_s}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$。
  • 通过采样的定义可知 $f_s(t)=f(t)\times sa(t)$，在matlab中只需要 fs = sinc(t/pi)。
• 信号恢复
  • 采样后的信号在时域上的表达式为 $f_s(t)=f(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)f(n{T}_s)$
  • 假设采样后的信号在频域上的表达式为 $F_s(j\omega )$，并选取低通滤波器
    $$H(\omega )=\{\begin{array}{ll}{T}_s,& |\omega |\le {\omega }_c\\ 0,& |\omega |>{\omega }_c\end{array}$$
    可以算出 $H(\omega )$ 在时域上的表达式 $h(t)=T_s\frac{{\omega }_c}{\pi }sa({\omega }_{c}t)$。之所以选取$H(\omega )$的放大倍数为 $T_s$ 是因为此时 $h(t)$ 的系数是 1（因为 ${\omega }_c=0.5{\omega }_s$）。
  • 根据前面的讨论，让取样后的信号通过低通滤波器相当于频域相乘即 $F(j\omega )=F_s(j\omega )\times H(\omega )$。同时根据时域和频域的关系，$f(t)=f_s(t)\ast h(t)$。带入前面的结果可以得到$$f(t)=T_s\frac{{\omega }_c}{\pi }\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n{T}_s)sa({\omega }_c(t-n{T}_s))$$

3. 结果的展示

• 临界取样

• 过采样（实际上这里有一点不太明白，为什么过采样恢复后信号的误差会比临界采样的大？？）

• 欠采样

4. matlab 代码

%% matlab 完成Sa信号的采样和恢复
%% 取样（临界取样）
% 取样
figure(1);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 2 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 10;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的临界取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = Ts*wc/pi * fs * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由临界取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");
%% 取样（过取样）
% 取样
figure(2);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 4 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 20;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的过取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = fs*Ts*wc/pi * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由过取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");
%% 取样（欠取样）
% 取样
figure(3);
wm = 1; %信号的最大频率
ws = 1.5 * wm; %信号的采样频率（根据奈奎斯特频率）
wc = 0.5 * ws;%滤波器的截止频率
Ts = 2*pi/ws;%采样间隔
N = 7;%时域采样点数
n = -N:N;
nTs = n * Ts;%采样数据的采样时间
fs = sinc(nTs/pi);%完成采样
subplot(311);
stem(nTs/pi,fs,'LineWidth',3);
xlabel("nTs");
ylabel("f(nTs)");
title("sa(t)的欠取样信号");
% 还原
Dt = 0.005;
t = -15:Dt:15;
fa = fs*Ts*wc/pi * sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));
subplot(312);
plot(t,fa,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("f(t)");
title("由欠取样信号重构sa(t)");
% 展示误差
error = abs(fa-sinc(t/pi));
subplot(313);
plot(t,error,'LineWidth',3);
xlabel("t");
ylabel("error(t)");
title("重构信号与原信号的误差error(t)");