2021寒假每日一题《整数集合划分》

整数集合划分

题目来源：PAT甲级真题1113
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题目描述

给定一个包含 $N$ 个正整数的集合，请你将它划分为两个集合 $A_1$ 和 $A_2$，其中 $A_1$ 包含 $n_1$ 个元素，$A_2$ 包含 $n_2$ 个元素。
集合中可以包含相同元素。
用 $S_1$ 表示集合 $A_1$ 内所有元素之和，$S_2$ 表示集合 $A_2$ 内所有元素之和。
请你妥善划分，使得 $|n_1-n_2|$ 尽可能小，并在此基础上 $|S_1-S_2|$ 尽可能大。

输入格式

第一行包含整数 $N$ 。
第二行包含 $N$ 个正整数。

输出格式

在一行中输出 $|n_1-n_2|$ 和 $|S_1-S_2|$ ，两数之间空格隔开。

数据范围

$2\le N\le 10^5$ ,
保证集合中各元素以及所有元素之和小于 $2^{31}$ 。

样例输入1

10
23 8 10 99 46 2333 46 1 666 555

样例输出1

0 3611

样例输入2

13
110 79 218 69 3721 100 29 135 2 6 13 5188 85

样例输出2

1 9359

解题思路：贪心

题目让两个集合的元素 个数之差最小 ， 数值总和之差最大 ，所以尽量均分个数。
元素个数为偶数的时候，分开后，两个集合元素个数一样，差值为 $0$ 。
元素个数为奇数的时候，分开后，元素个数差值为 $1$ 。
然后要求子集合差值尽量大，那么一个集合里放小的元素，一个集合里放大的元素就行了。
$N$ 为奇数的时候，不能均分，就在大元素的集合里，多放一个元素。
具体划分两个集合的思路如下：

• 将数组排序后，将 $[0,n/2)$ , $[n/2,n]$ 分别作为 $A_1$ , $A_2$ 两个集合。
• 数值总和之差 = 所有元素总和 - 两倍的 $[0,n/2)$ 区间的总和。

读入给定的数组，边读入边计算所有元素的总和。
然后减去两倍的 $[0,n/2)$ 区间的总和，即得到最大的数值总和之差。
个数之差根据输入的 $N$ 来判断，N为偶数则个数之差最小为0，否则为1。

解题代码-Java

import java.util.*;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int[] a = new int[n];
        long s = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            a[i] = input.nextInt();
            s += a[i];
        }
        input.close();

        Arrays.sort(a);

        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
    
    
            s -= 2L * a[i];
        }

        System.out.printf("%d %d\n", n % 2, s);
    }
}