标题皮亚诺的算术，符号创造还是发现？过客与生命之树———读皮亚诺之二
有一首古老的英语民歌，描述走出野蛮的人类最常做的三件事：
***Reading， 读啊!
Writing, 写啊！
Rithmetic， 算啊！***（摘自丹齐克著《数 科学的语言》第16页）
这三个最普通的人类行为，都和各个人群所使用的自然语言相关。而算啊！通常就是指的算术运算。这就把我们引向了算术，引向了数学家对于算术基础的研究。刚刚接触过德国的戴德金，现在，我们的算术旅程向东进发，从德国移向意大利，从德国的戴德金东行至意大利的数学家皮亚诺。
皮亚诺的算术理论，看他的那本《用新方法呈现的算术原理》一文，他给出了一套约定符号。皮亚诺的这个符号约定，把我的思路发散开了。如开首的那几句短诗，“读啊！写啊！”所言，这读的写的，常常不就是各自的母语，各种各样的自然语言么？我从算术的语言，很自然地想到了自然语言。
自然语言，包括其文字，其实就是一个约定，自然语言无非是某个共同地域人群，通过约定俗成而用于沟通的工具。无论哪一种自然语言，都是长时期不断通约的结果。到了近现代，国家权力与民族认同的需要，就出现周有光老先生谈论世界范围内的语言文字时，所言的诸多情形：
***新兴国家要求创制文字，多民族国家要求调整文字，文字不适用的国家要求改革文字，国际团体和国际会议要求规定公用文字。***（周有光《世界文字发展史》第21页）
这样，语言文字，因权力的参与而需要的约定就更多了。只要是语言文字，也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意义在内。由此，因公共圈地的范围不同，而语言文字也就各不相同。周先生没有提到科学家所创制的语言文字，他仅就国家层面讨论自然语言的文字通约。如果把语言文字的范围放得更宽一些，近现代科学的符号体系，其实也是语言的范畴，就像人们把数字看作是科学的语言那样。皮亚诺为算术引入的一套符号结构，不就是一套算数语言么？不过，这个语言需要自然语言在其中同时参和才行，这就如同计算机语言一样，在自然语言基础上构造的计算机语言，才是人们可以理解的专业语言。
标题一、皮亚诺给最普通的算术做了一套符号语言
数学家给数学做一套语言，布尔的代数和莱布尼兹的普遍语言都是例子。但那不是为最普通的算术做的，为算术做一套公理化的语言系统，直到19世纪末叶，才由皮亚诺做成功。前面谈到自然语言的约定特性，皮亚诺算术语言和自然语言相比，它有约定，却大都并非俗成，其中颇含构建者的智慧。仅就这部分智慧而言，大概才有点“俗成”的味道。皮亚诺的算术语言，它大概是以自然语言为元语言，本身作为对象语言呈现的。这是一套专业化的人工语言，或者说构造的是一套人工符号系统。在这套系统中，容纳着普通算术理论中的种种观念。
算术操作，它已经普通得不能再普通，基础得不能再基础了。竟然还可以用公理化的符号，来构建其更深层的基础。这人类智慧的基础，恐怕就是算术了。所以，还是那本《数 科学的语言》一书的第36页中，继续谈到算术时，就有这么一段话：
算术是一切数学的基础，不论纯粹数学还是应用数学。它是一切科学中最有用的；而且也许在人类的知识中，没有哪一门在人群中有更广泛的传播了。
就是在如此之基础的算术本身中，还可以往下往下，往更底层挖掘，这应该是人类智慧的奇观了。
让我们开始浏览一下这种奇观吧。
这套符号约定系统，在皮亚诺公理化算术中，共分为五大部分：
第一部分，序言：算术公理化的由来。
第二部分，给定一套逻辑符号（signs），算术符号，合成符号。
第三部分，命题篇。即逻辑与算术层面的各种命题表达方式，共分七小类描述。
1、命题表达式的形式
2、命题形式与相关词汇的进一步说明。
3、排列出43个属于定理的命题，皮亚诺称之为逻辑命题，这些逻辑命题也可以称作为公式，如同一般数学中的的公式那样，从命题1-43。
4、有关类（classes）的命题，从命题44-56。
5、上述命题的逆命题（the inverse），从命题57-66。
6、有关函数的命题（functions）
7、对整个第三部分的评论
第四部分，算术原理，分为十类描述。
1、数和加法，九个公理，包括公理共28个命题。
2、减法，总共23个命题。
3、最大与最小，总共5个命题。
4、乘法，总共15个命题。
5、幂运算，总共9个命题。
6、除法，总共37个命题。
7、各种各样的定理，总共24个定理。
8、有理数，总共42个命题。
9、有理数与无理数系统，总共13个命题
10、量词系统，总共46个命题。
看到以上简略目录，大概就知道皮亚诺干的是些什么事情了。看看世界上最早的《几何原本》那里有关欧氏几何的公理化陈述，你会感到皮亚诺公理化算术和这个欧氏几何体系的类似。还得仔细的读啊，写啊，但事情得一步一步的做，我先把最基本的图表给出来，然后对皮亚诺的工作，以及相关联的一些学者工作做一点评论。
标题二、皮亚诺算术原理中的两个符号图表：逻辑的，算术的，还有关系的等等
人类创造了近乎万种的自然语言，习用某种自然语言，就是去遵守某种语言约定。但从自然语言延伸到专业化的人工语言，你至少得遵守两重约定，一是自然语言的约定。你总是用自然语言来解释那些符号。你还还需要遵守进一步的约定，那个系统语言本身的约定。依据数学系统的本性，数学需要精准，自然语言却总是模糊多义，歧义连连，受到种种内外环境的制约。因此，这就总是引诱学者要想办法去掉自然语言的这个毛病，弗雷格的概念语言起源于此，皮亚诺的算术语言，这大概也是一个重要诱因。你要保证一个数学系统的协调一致，对于表达数学观念的字符，一定得需要相对精准的语词含义。
其实这也有点公理的意味，大家约定好这个符号是个什么意思，就得遵守这个约定，不要超越这个约定的含义。所以，公理是大家都认可，无需证明就得集体遵守的规矩。而符号的约定呢，也是一个公字，且称之为公约，大家全都约定要遵守的东西。
皮亚诺的符号约定，相当于自然语言的词典基本词汇。这些符号分为两大类，大类之下的第一小类：逻辑符号；第二小类：算术符号；第三小类：合成符号。这样的词汇结构大概是在表明，他的系统中后有算术，先有逻辑。另一类符号，皮亚诺略有区分，他用notation表示，我对这类将另做一表。先给出表1.
表2包括三类符号，一类符号是命题变元，它表示那些未予确定的实体；二类符号是常元，它表示那些已经指派了实体的对象；第三类则是有关命题表达式的符号。皮亚诺构建算术基础理论，有和戴德金相近的地方，戴德金从东西（thing）出发，这个thing和皮亚诺的实体意义相近，皮亚诺似乎是从实体（entity）出发。皮亚诺的“实体”和戴德金的“东西”，这两个概念是否可以等同？这是个仁者见仁智者见智的问题，姑且不论。
这些基本符号构建了皮亚诺公理化算术的符号框架，但偏好逻辑学的读者会注意到，这个框架，不就是一个命题逻辑的框架雏形么？也颇有点康托基础集合论的雏形味道。从现代逻辑的角度看，皮亚诺的这个算术公理化系统的刻画，的确就是现代数理逻辑最早的著作之一，而且是相对成熟的现代数理逻辑描述。
所以，本文的最后一部分，我试图把现代逻辑的一些关键性观念，连成一段不太长历史的链条。而皮亚诺给出的一些新观念，似乎就处在这根链条的近乎末端。
标题三、从莱布尼兹到皮亚诺
皮亚诺对算术的公理化处理，非一日之功可成。很难验证皮亚诺是否看过逻辑先贤们的哪些著作，但现代逻辑从无到有，真还是一连串观念链条合成的结果。尽管人们对于历史的记忆，总会打上时代的烙印，如哲学家沃尔特所言：
***想象一下，你要写一篇有关马的专题论文，但论文不是从“马”而是从汽车入手，只是因为读者对于汽车有着直接的体验。论文始终把马看作是“没有轮子的汽车”，从这个角度来给那些满脑子只有汽车的读者解释其中的相异之处…对应于轮子，这些不带轮子的“汽车”有着增大了的脚趾甲，称为蹄；对应于车前灯，它有眼睛；对应于车漆，它有毛发；对应于汽油燃料，它有干草；依此类推。弄到最后，马将面目全非。***（转引自格雷克《信息简史》第29页）
好在数学不是一般的历史，数字和符号也不是活生生的形象实体，就此而言，数学的历史要想歪曲，恐怕还有点难度。所以，我们关于现代逻辑产生的观念前提探寻，就有更强的可靠性。
仅就皮亚诺的逻辑符号而言，我们似乎看到一条不断完善的符号观念链条。莱布尼兹从算术那里找到可以类比的运算符号，于是在普遍语言的构想中类比出逻辑加，这应该是在300多年前。美国学者刘易斯的《符号逻辑概览》提供了文献依据，其附录《来自莱布尼兹的两个片段》，莱氏给出的逻辑加就在这个附录中，时间大约在1685年以后。
时光掠过莱布尼兹一个半世纪之久，1850年代，先有英国人德摩根的那个著名定律，以德摩根来命名的德摩根定律，这在皮亚诺那里直接就借用了。
然后又是英国人布尔，他开始了对于传统逻辑的颠覆性改造，类的全无观念，全无观念和真值观念宛若神话般的关联，现代逻辑的基础部分开始露出了地面。布尔的这些卓绝观念，也在皮亚诺那里直接就借用了。
几乎是在同一个时代，远在欧洲之外的美国，则出了一个皮尔斯。他为布尔与施罗德的逻辑演算，引进了一个新关系，这就是皮亚诺算术中也是直接引用的包含关系。现代逻辑大概由此就从新生的婴儿成长起来，可以在科学的大花园中蹒跚前行了。
而此时的算术研究，基础问题受到诸多德国人的关注，德国人戴德金、弗雷格还有一帮关心算术基础问题的数学家，他们把对算术基础问题的研究，提升到一个新的高度。
人类的智慧好像是一个奇异的巡游，算术基础的研究成果从德国东移，竟然到德国更东部的意大利那里结下新果。逻辑与算术的数百年联姻，竟然就弄成了一个皮亚诺的算术公理化的数学系统。它既是算术的，却也是逻辑的，而且首先是逻辑的，然后是算术的。
所有这些由数学家给出的新观念，它到底是数学家的创造？还是数学家的发现？我好像感觉到柏拉图的共相理论在招手而来，这个世界，好像有一双至高无上的手在创造和生成着万事万物。人类的智慧大概就是在感知、发现，揭示这无形之手的神秘和奥妙，而不是在创造。尤其是科学家的工作，他们大概只是在期待着这份奇妙的探寻。
我从皮亚诺的算术工作中，似乎同时也感到罗素的睿智，他从不懂数学的黑格尔痴迷中叛逆出来，又从皮亚诺的算术理论和符号构建中找到一个新的逻辑，一种新的哲学。尽管这个逻辑主义的哲学只是历史的一个过客，但现代逻辑却好像深扎于科学的土壤之中。它生根、开花，依然在不断地结着果实。黑格尔的那些晦涩诡辩和逢迎的故事，虽然看起来比逻辑主义哲学有更长的寿命，大概也不过是一个过客而已。而作为科学的逻辑和算术，恐怕如德国人喜欢的歌德所言，理论是灰色的，生命之树常青。逻辑和科学，也许就是两棵与人类同在的生命之树。
