皮亚诺的数概念起点和算术公理1-2告诉我们什么？—— 皮亚诺读后之四
我们最经常使用的自然数，究竟从哪里来？这种追溯，大概来自人类心灵对于“自然之根”的探求欲望。就像人类不仅要记载自己的历史起源，还要把自身之外的宇宙起源，物质起源都要理出个究竟一样。
寻根图片
这寻根之举，于人文领域总叫人啼笑皆非。俄国的一些史家大概总在为俄国人的辉煌寻找证据，不管它曾经有过多少罪恶。而中国的一些史家，似乎更精于此道。刚刚看到几则历史寻源的大道小道消息，名校的一些教授在证明：金字塔、古希腊文明是现代伪造，被互联网鼓捣成世界语的英语，那不是英国出土的，英语其实源自中国。而草根的历史爱好者则更为奇芭，他们在宣布许多惊世骇俗，其实是俗不可耐的历史命题。譬如华盛顿是中国人，日本天皇是商纣王的后代，日语源自浙江温州等等（转引自微信范宕公众号文）。这历史起源的追溯，简直就是想怎么说就怎么说，只要有人喝彩打赏就行。
好在还有严肃的科学学者在，还有基本的学术规范在。我们还存有几个质朴纯粹的家园，还有可以超越一点世俗的数学基础研究的成果在。而谈及算术公理化系统，还有戴德金、皮亚诺、弗雷格和罗素等等数学家的著作在。
标题一、皮亚诺算术理论的三个基本概念：自然数 基元素1和后继
用扩展一点的思路看，算术基础的研究，其实也是一种寻根求源的研究。也许是因为，这样的研究和那些潜在的功利扯不上多少关联，就还有某种求真求知的旨趣蕴藏其中。虽然很少有人喝彩，却依然还魅力非凡。皮亚诺的公理化算术，应该是这类还有点非凡魅力的东西，值得人把时间丢在那里厚积薄发。
那么，自然数究竟从哪里来的呢？自从皮亚诺给出了算术的公理化系统，自然数的根底，就可以用皮亚诺的五个公理来予以解说。
皮亚诺在给出公理之前，先给出三个基本概念。
第一个是自然数（positive number）总体，这用N表示。
第二个是单位（unity），他用阿拉伯数字1来表示，这个表述应该是戴德金的继承。戴德金把1看作是一个简单无限系统的基元素（base-element），和皮亚诺的unity相比，是很为接近的含义。
第三个是后继（successor），他用a+1表示。这个表述显然容易引起混淆，因为加法也应该在公理之后出现，我们随后会有一些调整。
皮亚诺的表述十分清晰，但就严格性而言，戴德金的处理似乎更严谨一些。这一点以后有余暇时再议，我们还是回到皮亚诺的公理中来。
在皮亚诺公理中使用的其它符号则属于逻辑符号，在他那本著作中的前三节已经给出了较为充分的表述。
接之，皮亚诺公理出场了，他给出九个公理，上篇856已经指出过，其中的2，3，4，5并不独立。所以，后世称之为皮亚诺算术公理的，就是剩余的五个公理，这五个公理足以支撑起皮亚诺的算术大厦。
本篇先议论一番公理1和公理2，其后的三个公理，则留待下篇。那恐怕就是鼠年已去，牛年降临的辛丑之年了。真可谓岁月不居，时节如流。庚子鼠年的疫情还在延续，竟然还要跨过鼠年，直抵牛年。但愿这辛丑牛年会是这场疫情的结束，因为人类有科学在，这样的祈愿还是会被不断消失，却又不断产生的时光所应验的。
标题二、皮亚诺公理1，简称为PA1：自然数最先只有一个数字，那就是1
PA1的符号表述：1∈N
这个属于∈符号在德国数学家戴德金的随笔中没有出现，戴德金讨论系统之间的包容关系时，只用了一个包含于关系。这属于和包含于的两种关系，颇有些相似，很容易混淆使用。皮亚诺把这个属于关系单挑了出来，是他对逻辑和算术理论的一大功劳。美国学者皮尔斯在他之前，为现代逻辑弄出一个包含于关系，皮亚诺则从这个包含于关系中，看到一个类似于它，却又有关键区别的属于关系，这需要一点慧根。有开创性发现的数学家，大都有这类慧根在。包含于关系是两类抽象实体类之间的关系，在这个关系的后面竟然还潜藏着一个属于关系。性质相近，却又区别甚远。最后，这种发现又被学界同仁普遍接受，这大概只是数理界才有的故事。反观人文界，似乎越来越难找到这类共识了。
这两种关系，都属于两个对象之间的包容关系。但包含于关系是子类与类的关系，属于则是一个集合之中，个体和整体之间的关系，或者说元素和整体之间的关系。这个说起来有点啰嗦复杂，先到此为止，仅以两张图简要说明之。
类与类之间的关系图1：B包含于A
类与分子的属于关系图2：中国是国家的一个元素，这是属于关系
那么这个PA1：1∈N，是些什么样的算术主张呢？
看起来就是三个符号的简单组合，寓意还真是有点深远。先从字符面上看，我们只知道有一个自然数系列N。这个自然数，戴德金在他的随笔中曾引用过一个著名的希腊叹语：
***“啊，上帝，数字”。***（见戴德金《数论随笔》第34页）
这个叹语中的数字就是自然数，所以，后来有数学家说，上帝创造出了自然数。
这自然数被人类使用了几千年，直到19世纪的晚期，才有数学家给它的基础理出了一条线索。这个梳理的最早一条线索应该是戴德金的，他把自然数的产生，看作是满足他四个条件的结果。戴德金的这四个条件，经过皮亚诺的思考，转换成了他的九个公理，后来简化为5个皮亚诺公理。由于皮亚诺引进了戴德金还不知道的属于关系，第一条皮亚诺公理，就把1看作是属于自然数的基础元素，也就是1∈N。
这个公理PA1，似乎是在宣告这个世界的两个存在。一个是普遍的自然数类的存在，皮亚诺没有说明自然数的无限，如果结合戴德金的背景描述，这个自然数就是一个简单无限对象的存在。它似乎是一个质朴无限的系列，这个系列似乎除了1，我们还不知道1以外的东西何以生成。因此另一个存在，自然就是作为基础元素1的存在。
由于皮亚诺引进了属于关系，公理PA1导出了一个似乎天然的关系式：
基元素1属于自然数N。
这种抽象的属于关系，如果用几何图形作类比的话，相当于皮亚诺给出了一个自然数的储存空间，可以用方块，也可以用园，但最好用一条直线来表示这个空间。19世纪中叶是逻辑学新概念不断涌出的一个年代，英国人德摩根在那个年代弄出来一个论域概念，这个方块或者园或者直线，真还有德摩根弄出的那个论域概念的意味。PA1给出的第一个存在，自然数的存在，不就是算术基础研究的一个论域么？
这个自然数的直线空间还空空荡荡，只有一颗孤星镶嵌其中，这颗孤星就是基元素1。我们似乎可以给这个PA1想象出一个简单的图形，一条无限延伸的线条起端凸起了一个点。有一条表示自然数系列N的单向直线，有一个表示基元素1的点。
有哲思情节的戴德金，用到了人类心灵的自由创造这样诗歌般的语言，来解说自然数的生成。这话其实很有道理，自然数虽然称为自然数，可没有人类的心灵构想，它就不会成为一门科学。有了我们普遍认同的自然数空间，又有了我们普遍认同的基元素1，再加上我们给这两者赋予了那个不同于包含于关系的属于关系，这就好像赋予了自然数以动态的功能。于是，我们在这两个构件的基础上添加一个驱动器，这就有了皮亚诺公理PA2。
标题三、皮亚诺公理2，简称为PA2：任意自然数都有后继，如果一个数是自然数，那么，它的后继也是一个自然数
PA2的符号表述：（（（n∈N）（（n+1）∈N）））
PA1用到了前面两个基本概念自然数和基元素1，PA2立刻就用到了第三个基本概念，那就是后继successor。这也是如同“自然数”和“1”一样，不加定义，作为自明概念而引入的。皮亚诺用n+1来表示后继，但这样的表述好像不那么严谨，因为算术运算的加法还未引入，我们把这个未知概念用到公理之中，似乎不大合法。所以，更为精确的表达方式可能还是戴德金式的。我们有任意自然数n，n的后继也就是戴德金的所谓链chain，他表示为n’，n’通过镜像从n而获得。这样，皮亚诺基本概念‘后继’的表述，就应该是，如果n是自然数，n的后继就是n’。
这样来理解皮亚诺PA2的结果，那就成为：
如果n是1，则1’为自然数；
如果1’是自然数，则1’’也是自然数；
如果1’’是自然数，则1’’’也是自然数；
…
这个后继的生成显然是无限的，如果用几何线条来表示，就是一条从1通向无穷的线条，如同戴德金所言，一条质朴无限的数字系列。
由此，一个自然数的无限系列也就可以表示为：
N = {1, 1’, 1’’, 1’’’, 1’’’’,…}
自然数的空间，使用后继这个观念，就开始生成新的自然数对象。这样一种生成，罗素在其《数理哲学导论》中，做了进一步的解说，这种解说比皮亚诺的后继概念似乎更高明，和戴德金的镜像之说相比，似乎也更为形象。
假使无论何时一数n有一性质，它的后继n+1也有，则称这性质在自然数串中是“遗传的”hereditary。同样，如n是一类中的一份子，n+1也是，则称这类是“遗传的”。（罗素《数理哲学导论》第25页）
罗素在这里使用的遗传一词，还真有点传神。戴德金的变换transformation，被民国的朱教授译为“摄影”，这就有了“镜像”的转译，皮亚诺则使用“后继”一词来表明自然数的前后相接，这些说法都应该说精准地抓住了自然数的接续特性。但罗素的“遗传”之论，更为精准。我们仿佛感觉到那个抽象的自然数类，变得鲜活生动起来，它简直就是一个生命体。一个一个自然数个体，原来不仅仅只是简单的数字表达式。它们似乎和地球上的生命一样，有着自己的数字基因，这些数字基因从1，一直遗传到无穷。
自然数自身的扩展，同时又有满足数字运算封闭性要求的自然数向有理数，无理数等等数字形式的扩展，这会和生命的进程有关系么？这个遗传之说，真还引发人多多的浮想。也许，科学作为智慧生命的产物，会把生命的性质传递给生命之外的东西，就像自然智能之后有人工智能那样。不过，这个浮想已经离题甚远，我该从皮亚诺的公理PA2，转向他的公理PA3了。不过，那将使本篇过长，且留待牛年做下一篇的皮亚诺读后五吧。