Hermite（埃尔米特）插值法

Hermite插值法是解决数学建模中预测类问题的最常用的方法，可以有效的解决“已知数据”数量不够的问题。

但是，直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着“龙格现象（Runge phenomenon）”。因此，在实际应用中，往往使用分段三次Hermite插值多项式（PCHIP），来提高“模拟数据的准确性”。

这里要说明一下“龙格现象（Runge phenomenon）”，

龙格现象（Runge phenomenon）

简单的解释为：插值多项式的震荡，即在两段处波动极大，产生明显的震荡。

Hermite插值法的含义

保持插值曲线在节点处有切线（光滑），使得插值函数和被插值函数的密合程度更好。
不但要求在节点处上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是“Hermite插值多项式”。

Hermite插值原理

在这里插入图片描述

Hermite插值法的代码实现

Matlab中的pchip函数

在Matlab中，内置有Hermite插值多项式（PCHIP）函数

格式：“p=pchip（x，y，new_x）”

其中：x是已知的样本点的横坐标，y是已知的样本点的纵坐标，new_x是要插入处的横坐标。

因此，new_x可以是一个区间。

Matlab中的代码实现：

%插值算法 （常用） 

%Hermite（埃尔米特）插值法

a=0;
a=input('请输入数据矩阵的行数：');

b=0;
b=input('请输入数据矩阵的列数：');

%初始化目标矩阵
c=zeros(a,b);
c=input('请依次输入数据矩阵：');
disp('数据矩阵：');
disp(c);

%确定插值区间
d=0;
d=input('请输入插值区间：');


%进行插值
e(1,:)=d;

[n,m]=size(c);

for i=2:n
    e(i,:)=pchip(c(1,:),c(i,:),d);
end

%目标矩阵
disp('Hermite插值后的矩阵：');
disp(e);

Hermite插值法的例题应用

题目“第六届mathorcup大学生数学建模挑战赛A题目”中的数据：

可以看出，题目中的数据只给出了“奇数周”，缺少“偶数周”的实验数据，因此需要进行“完善数据”。

Matlab代码实现：

%第一种方法：Hermite（埃尔米特）插值法

%确定数据矩阵的大小
A=[1:15];
B(1,:)=A;

for i=2:12
    B(i,:)=pchip(h(1,:),h(i,:),B(1,:));
end

ylab={
    
    '周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'}; 

 for j=2:12
     subplot(3,4,j-1), 
     plot(B(1,:),B(j,:),'r');   
     hold on;
     plot(h(1,:),h(j,:),'o');
     axis([0 15,-inf,inf])
     title(ylab{
    
    j-1})
 end
 
 legend('三次埃尔米特插值数据','原始数据','Location','SouthEast')

代码结果：

运行结果