codeforces665E——Beautiful Subarrays题解(字典树，异或前缀和)

题目链接：https://codeforces.com/contest/665/problem/E

题意：让你找一些子串，让它们异或和大于等于k。求这样的字串有多少个。
思路：
$$\begin{array}{rl}{a}_i\oplus a_{i+1}\oplus .....\oplus a_n& =(a_1\oplus a_2\oplus .....\oplus a_n)\oplus (a_1\oplus a_2\oplus .....\oplus a_{i-1})\end{array}$$
所以我们自然会想到，对于每一个$a_i$找以$a_i$为结尾的子串，就把$a_1\oplus a_2\oplus ....\oplus a_i$和$i$之前的所有的异或前缀和做一次异或运算，就能得到，以i为结尾的所有子串的异或前缀和。我们把符合条件的答案加起来就好了。
但这样做，时间复杂度为$O(n^2)$，肯定不能通过本题，我们考虑优化。
我开始考虑了一下线段树，后来没做出来。我看了大佬的通过代码，发现可以用01字典树，对所有的异或前缀和进行拆位存储，这样，就很大程度地降低了时间复杂度。
我们用字典树，现在求以$a_i$为结尾符合答案的子串数量，假设前$i-1$项的前缀和情况存在了字典树中，我们这里用$y$表示。
也就是，我们要求$a_i\oplus y>=k$的数量。
我们按位从高位到低位考虑：
如果$a_i$的当前位是0，k的当前为也是0，此时$y$的当前为1的情况都成立，直接加入答案中；y当前位为0，就继续考虑向下考虑。
如果$a_i$的当前位为0，k的当前位为1，此时$y$的当前位如果可以为1，就继续向下考虑。
如果$a_i$的当前位为1，k的当前位为0，此时$y$的当前位为0的情况都成立，就直接加入答案；y当前位为1，就继续向下考虑。
如果$a_i$的当前位为1，k的当前位为1，此时$y$的当前位为0，就继续向下考虑。
它的过程，类似于数位dp，遇到大于的情况直接加入答案，如果遇到等于的情况，就继续考虑下一位，因为等于的情况只有等到所有位都判断完，才能得出结论。如果遇到了小于的情况，直接忽略这种情况，如果当前位已经比预期小了，无论，更低的位如何选择，你都不会得出大于等于预期的情况。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
//字典树，异或前缀和
const int N = 3e7 + 10;
int tot = 0;
int trie[N][2];
int cnt[N];
int a[1000010];
int n, k;

void insert(int x){
    
    
    int rt = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; i--){
    
    
        int now = x >> i & 1;
        if(!trie[rt][now]){
    
    
            trie[rt][now] = ++tot;
        }
        rt = trie[rt][now];
        cnt[rt]++;
    }
}

int find(int x, int k){
    
    
    //找目前所有的前缀中，异或x大于等于k的个数
    int ans = 0, rt = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; i--){
    
    
        int nowx = x >> i & 1;
        int nowk = k >> i & 1;
        if(!nowx){
    
    
            if(!nowk){
    
    
                ans += cnt[trie[rt][1]];
                if(!trie[rt][0]){
    
    
                    return ans;
                }
                rt = trie[rt][0];
            }
            else{
    
    
                if(!trie[rt][1]){
    
    
                    return ans;
                }
                rt = trie[rt][1];
            }
        }
        else{
    
    
            if(!nowk){
    
    
                ans += cnt[trie[rt][0]];
                if(!trie[rt][1]){
    
    
                    return ans;
                }
                rt = trie[rt][1];
            }
            else{
    
    
                if(!trie[rt][0]){
    
    
                    return ans;
                }
                rt = trie[rt][0];
            }
        }
    }
    return ans + cnt[rt];//相等的情况不要漏掉
}

int main(){
    
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
    
    
        cin >> a[i];
        a[i] = a[i]^a[i-1];
    }
    ll ans = 0;
    insert(0);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
    
    
        ans += 1LL*find(a[i], k);
        insert(a[i]);
    }
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}