bzoj #3453.tyvj 1858 XLkxc 题解

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题目大意： 令 $f(x)$ 为自然数幂和，$g(x)$ 为 $f$ 的前缀和，求 ${\sum }_{i=0}^{n}g(a+id)$。

题解

其实就是个拉格朗日插值的裸嵌套。

由于 $f$ 是个$k+1$ 次多项式，而 $g$ 做差后得到 $f$，所以 $g$ 是个 $k+2$ 次多项式。

令 $h(n)={\sum }_{i=0}^{n}g(a+id)$，发现 $h$ 做差后得到 $g$，所以 $h$ 是个 $k+3$ 次多项式。

套一下拉格朗日插值板子就做完了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 210
#define ll long long
#define mod 1234567891

int T,k,a,n,d;
int ksm(int x,int y){
    
    int re=1;for(;(y&1?re=1ll*re*x%mod:0),y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod);return re;}
struct Lagrange{
    
    
	int fac[maxn],inv_fac[maxn];
	void init(){
    
    
		fac[0]=inv_fac[0]=1;
		for(int i=1;i<=maxn-10;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		inv_fac[maxn-10]=ksm(fac[maxn-10],mod-2);
		for(int i=maxn-11;i>=1;i--)inv_fac[i]=1ll*inv_fac[i+1]*(i+1)%mod;
	}
	int calc_f(int x,int k){
    
    //f不需要插值，因为x不会很大
		long long re=0;
		for(int i=1;i<=x;i++)
			re+=ksm(i,k);
		return re%mod;
	}
	int preg[maxn],sufg[maxn];
	int calc_g(ll x,int k){
    
    
		if(x<=k+3){
    
    
			long long re=0;
			for(int i=1;i<=x;i++)
				re+=calc_f(i,k);
			return re%mod;
		}else{
    
    
			long long re=0,sum=0;
			preg[0]=1;for(int i=1;i<=k+3;i++)preg[i]=(x-i)%mod*preg[i-1]%mod;
			sufg[k+4]=1;for(int i=k+3;i>=1;i--)sufg[i]=(x-i)%mod*sufg[i+1]%mod;
			for(int i=1;i<=k+3;i++){
    
    
				sum=(sum+calc_f(i,k))%mod;
				if(k+3-i&1)re-=sum*preg[i-1]%mod*sufg[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+3-i]%mod;
				else re+=sum*preg[i-1]%mod*sufg[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+3-i]%mod;
			}
			re=(re%mod+mod)%mod;
			return re;
		}
	}
	int preh[maxn],sufh[maxn];
	int calc_h(int a,int d,int x,int k){
    
    
		if(x<=k+4){
    
    
			long long re=0;
			for(int i=1;i<=x;i++)
				re+=calc_g(a+1ll*(i-1)*d,k);
			return re%mod;
		}else{
    
    
			long long re=0,sum=0;
			preh[0]=1;for(int i=1;i<=k+4;i++)preh[i]=1ll*preh[i-1]*(x-i)%mod;
			sufh[k+5]=1;for(int i=k+4;i>=1;i--)sufh[i]=1ll*sufh[i+1]*(x-i)%mod;
			for(int i=1;i<=k+4;i++){
    
    
				sum=(sum+calc_g(a+1ll*(i-1)*d,k))%mod;
				if(k+4-i&1)re-=sum*preh[i-1]%mod*sufh[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+4-i]%mod;
				else re+=sum*preh[i-1]%mod*sufh[i+1]%mod*inv_fac[i-1]%mod*inv_fac[k+4-i]%mod;
			}
			re=(re%mod+mod)%mod;
			return re;
		}
	}
}Lag;

int main()
{
    
    
	Lag.init();
	scanf("%d",&T);while(T--)
	{
    
    
		scanf("%d %d %d %d",&k,&a,&n,&d);
		printf("%d\n",Lag.calc_h(a,d,n+1,k));
	}
}