[BZOJ3453][tyvj1858]XLkxc-拉格朗日插值

XLkxc

Description

神犇LYD虐完HEOI之后给傻×XLk出了一题：
SHY是某国的公主，平时的一大爱好是读诗…(中间略)…结果mod p就可以了

简明题意
给定 k,a,n,d,p
f(i)=1^k+2^k+3^k+……+i^k
g(x)=f(1)+f(2)+f(3)+….+f(x)
求(g(a)+g(a+d)+g(a+2d)+……+g(a+nd))mod p

对于所有数据
1<=k<=123
0<=a,n,d<=123456789
p==1234567891

Input

第一行数据组数，(保证小于6)
以下每行四个整数 k,a,n,d

Output

每行一个结果。

Sample Input

5
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1

Sample Output

5
5
5
5
5

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这个样例啊，亦可赛艇。

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思路:
可以发现,$f(x)$就是一个自然数幂和。
那么通过差分可知，$f(x)$为一个$k+1$次多项式。

同理根据差分可得$g(x)$为一个$k+2$次多项式。
令$h(x)=g(a)+g(a+d)+g(a+2*d)+......+g(a+n*d)$
那么同样根据差分可以得到$h(x)$为一个$k+3$次多项式。

于是考虑拉格朗日插值。
首先预处理处$f(x)$，从而算出$g(x)$。
然后，插出$g(x)$以计算$h(x)$的前$k+4$项。
最后，插出$h(x)$并计算答案。

然后就没有了……

记录一下重心拉格朗日插值的公式:

$$l(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)$$
$$w_i=\frac{1}{\prod\limits_{j \neq i}(x_i-x_j)}$$
$$f(x)=l(x)\sum_{i=1}^ny_i\frac{w_i}{x-x_i}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll md=1234567891;
const ll N=139;

ll k,a,n,d;
ll g[N],f[N],fac[N],inv[N],tl[N],w[N];

inline ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=ret*a%md;
        a=a*a%md;b>>=1;
    }
    return ret;
}

inline void init()
{
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%md;
    inv[N-1]=qpow(fac[N-1],md-2);
    for(ll i=N-1;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%md;
}

inline ll cg(ll x,ll m,ll *y)
{
    if(x<=m)return y[x]; 
    ll l=1,sum=0;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        l=l*(x-i)%md;
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        (sum+=w[i]*qpow(x-i,md-2)%md*y[i]%md)%=md;
    return sum*l%md;
}

inline ll initw(ll m)
{
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        w[i]=((((m-i)&1)?-1ll:1ll)*inv[m-i]*inv[i-1]%md+md)%md;
}

inline void mina()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&a,&n,&d);
    for(ll i=0;i<=k+3;i++)
        g[i]=qpow(i,k);
    for(ll i=1;i<=k+3;i++)
        (g[i]+=g[i-1])%=md;
    for(ll i=1;i<=k+3;i++)
        (g[i]+=g[i-1])%=md;

    initw(k+3);
    for(ll i=0;i<=k+4;i++)
        f[i]=cg((a+i*d)%md,k+3,g);
    for(ll i=1;i<=k+4;i++)
        f[i]=(f[i]+f[i-1])%md;
    initw(k+4);
    printf("%lld\n",cg(n,k+4,f));
}

int main()
{
    init();
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
        mina();

    return 0;
}