递归时间/空间复杂度的分析(斐波那契为例)

写在前面：博主是一位普普通通的19届二本大学生，平时最大的爱好就是听听歌，逛逛B站。博主很喜欢的一句话花开堪折直须折，莫待无花空折枝：博主的理解是头一次为人，就应该做自己想做的事，做自己不后悔的事，做自己以后不会留有遗憾的事，做自己觉得有意义的事，不浪费这大好的青春年华。博主写博客目的是记录所学到的知识并方便自己复习，在记录知识的同时获得部分浏览量，得到更多人的认可，满足小小的成就感，同时在写博客的途中结交更多志同道合的朋友，让自己在技术的路上并不孤单。

目录:
1.斐波那契递归代码实现
2.斐波那契的时间复杂度的详细分析
3.斐波那契的空间复杂度详细分析

1.斐波那契递归代码实现

int Fibonacci(int n)
{
   if(n==1||n==2)
   return 1;
   else
   return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}

2.斐波那契的时间复杂度的详细分析

我们来看一个当n=5的时候递归代码如何执行的(没完全展开)：

二叉树的高度是 n - 1，由我们的基础知识可以知道，一个高度为k的二叉树最多可以由 2^k- 1个叶子节点，也就是递归过程函数调用的次数,所以时间复杂度是：

O(2ⁿ)

当然这只是针对斐波那契数列，汉诺塔等等，如果是其他的递归可能又会不同。当然当代码的时间复杂度为指数级的时候，随着参数的变大，程序的效率是非常低下的，而且当n值过大，容易产生栈溢出的可能，明显这样的递归方法是低效的。

3.斐波那契的空间复杂度详细分析

还拿n==5来说

①-③：调用Fib(5),首先需调用Fib(4),Fib(4)要先调用Fib(3)，逐步调用直至返回Fib(2)的值1，Fib执行结束，所创建空间销毁。此时Fib(5)、Fib(4)、Fib(3)均未调用结束，程序共占用4个函数栈帧空间。

④-⑨：Fib(2)执行结束，接下来调用Fib(1)，创建一个函数栈帧空间，调用结束返回1后，该空间销毁，此时可得到Fib(3)=2，通过第⑦步返回Fib(3)的值，第⑧步同样创建空间再次调用Fib(2)，调用结束销毁空间，此时可得到Fib(4)=3，通过第⑨步返回Fib(4)的值，此过程最大占用4个函数栈帧空间。

⑩-···：最后和上面一样，调用Fib(3)，将返回值传给Fib(5)的模块，最终得到Fib(5)=5。

整个程序执行过程中，最多占用4个函数栈帧空间的大小，4就是整个二叉树的深度，而其树的深度有是n-1

所以：

斐波那契的空间复杂度就是树的深度 S(n)