二叉搜索树知识点总结

一、 二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树

例如：

int a [] = {
    
    5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

二、二叉搜索树操作

2.1 查找

Node* Find(const T& data)
{
    
    
	Node* cur = root;
	while(cur)
	{
    
    
		if (data == cur->data)
			return cur;//查找key==根节点key
		else if (data < cur->data)
			cur = cur->left;//查找key<根节点key
		else
			cur = cur->right;//查找key>根节点key
	}

	return nullptr;
}

2.2 插入

树为空，则直接插入

树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点

bool Insert(const T& data)
{
    
    
	if (nullptr == root)
	{
    
    
		root = new Node(data);
		return true;
	}

	// BSTree非空
	// 1. 找待插入节点在树中的位置,并且需要记录其parent的位置

	Node* cur = root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
    
    
		parent = cur;
		if (data == cur->data)
			return false;
	    else if (data < cur->data)
			cur = cur->left;
		else
			cur = cur->right;
	}

	//2.插入新节点
	cur = new Node(data);
	if (data < parent->data)
		parent->left = cur;
	else
		parent->right = cur;

	return true;
}

2.3 删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

1. 要删除的结点无孩子结点
2. 要删除的结点只有左孩子结点
3. 要删除的结点只有右孩子结点
4. 要删除的结点有左、右孩子结点

1和2、3可以合并起来，所以只有三种情况：

1. 结点只有左孩子，可以直接删除，让其双亲结点指向被删除结点的左孩子结点
2. 结点只有右孩子，可以直接删除，让其双亲结点指向被删除结点的右孩子结点
3. 左右孩子均存在，删除比较麻烦。方法是找代替结点：左子树中，找左子树中最大（最右侧）结点；右子树中，找右子树最小（最左侧）结点，如下图所示：

bool Erase(const T& data)
{
    
    
	if (nullptr == root)
	{
    
    
		return false;
	}

	// BSTree非空
	// 1. 找待删除节点在BSTree中的位置，并保存其双亲
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = root;
	while (cur)
	{
    
    
		if (data == cur->data)
			break;
		else if (data < cur->data)
		{
    
    
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else
		{
    
    
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
	}

	// 值为data的节点不存在
	if (nullptr == cur)
	{
    
    
		return false;
	}

	// 2. 删除节点
	// cur如果只有右孩子 或者 叶子节点
	if (nullptr == cur->left)
	{
    
    
		if (nullptr == parent)
		{
    
    
			root = cur->right;
		}
		else
		{
    
    
			if (cur == parent->left)
				parent->left = cur->right;
			else
				parent->right = cur->right;
		}
	}
	else if (nullptr == cur->right)
	{
    
    
		//cur只有左孩子
		if (nullptr == parent)
		{
    
    
			root = cur->left;
		}
		else
		{
    
    
			if (cur == parent->left)
				parent->left = cur->left;
			else
				parent->right = cur->left;
		}
	}
	else
	{
    
    
		// cur左右孩子均存在
		// 找替代节点--->假设：在右子树中替代节点
		Node* del = cur->right;
		parent = cur;
		while (del->left)
		{
    
    
			parent = del;
			del = del->left;
		}
		// 将替代节点中的值域交给之前要删除的cur
		cur->data = del->data;

		//相当于变成要删除del
		if (del == parent->left)
			parent->left = del->right;
		else
			parent->right = del->right;

		cur = del;
	}

	delete cur;
	return true;
}

2.4 验证

二叉搜索树的特点符合中序遍历，可以用中序遍历来验证。

void _InOrder(Node* pRoot)
{
    
    
	if (pRoot)
	{
    
    
		_InOrder(pRoot->left);
		cout << pRoot->data << " ";
		_InOrder(pRoot->right);
	}
}

三、 二叉搜索树的应用

1. K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。
   比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
   以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2. KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

四、二叉搜索树的性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树。

因此，二叉搜索树查找效率按最差的情况算：O(N）