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一开始的时候给我们一个X 奇数 现在我们可以有两种操作
每次构造后 新构造的数会放入到序列中 可以继续使用
现在要我们构造出来 使得序列中出现 1
两种操作是 取两个数 做加法 或者做异或
那么很方便的我们可以得到一个数 为X * 2^k
X+X=2X
2X+2X=4X
4X+4X=8X
我们继续观察， 2^k 相当于把X 的二进制模式 整体移动k位
那么取一个临界点继续观察 令k为最大的 2^k <x
那么我们可以每次消去一个数的最高位的1
假设我们恰好消去它 ，继续观察发现 也就是说 x异或2^kx 总是互质的
也就是说2^(k) *x +x - 2^(k+1) 与 x 互质
gcd(a, b)=gcd (a, b-a)
那么我们就有了与初始x 互质的一个数 y
既然x y 互质 不妨使用exgcd 求得一组ax-by=1
ax=by+1 如果b是偶数 那么ax异或by 一定可以得到1
如果b不是偶数 我们可以调整系数使他变为偶数
然后就是龟速乘记录ax by的过程
操作op=1 或者0 代表着运算符号种类
遍历一次vector 就OK
#include<bits/stdc++.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<time.h>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long
#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mods 1000000007
#define modd 998244353
#define PI acos(-1)
#define fi first
#define se second
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define si size()
#define E exp(1.0)
#define fixed cout.setf(ios::fixed)
#define fixeds(x) setprecision(x)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0)
using namespace std;
ll gcd(ll a,ll b){
if(a<0)a=-a;if(b<0)b=-b;return b==0?a:gcd(b,a%b);}
template<typename T>void read(T &res){
bool flag=false;char ch;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=ch-48;isdigit(ch=getchar());res=(res<<1)+(res<<3)+ch - 48);flag&&(res=-res);}
ll lcm(ll a,ll b){
return a*b/gcd(a,b);}
ll qp(ll a,ll b,ll mod){
ll ans=1;if(b==0){
return ans%mod;}while(b){
if(b%2==1){
b--;ans=ans*a%mod;}a=a*a%mod;b=b/2;}return ans%mod;}//快速幂%
ll qpn(ll a,ll b, ll p){
ll ans = 1;a%=p;while(b){
if(b&1){
ans = (ans*a)%p;--b;}a =(a*a)%p;b >>= 1;}return ans%p;}//逆元 (分子*qp(分母,mod-2,mod))%mod;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if (!b){
x=1,y=0;
return a;
}
ll ans=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return ans;
}
struct pe{
ll x;
ll op;
ll y;
};
vector<pe>ans;
void mulit(ll a,ll b) {
ll res = -1;
while(b) {
if(b & 1) {
if(res == -1) res = a;
else {
ans.pb({
res, 0, a});
res += a;
}
}
ans.pb({
a, 0, a});
a += a;
b >>= 1;
}
}
signed main(){
ll x;
read(x);
ll cnt=1;
while(2*cnt<x){
ans.pb({
cnt*x,0,cnt*x});
cnt=cnt*2;
}
ans.pb({
x,1,cnt*x}); // 得到y
ll y=x^(cnt*x);
ll a,b;
exgcd(x,y,a,b);
b=-b;
if(a<=0) {
ll bei =(-a)/y +1;
a +=y*bei;
b +=x*bei;
}
if(b%2==1)a+= y, b += x;
mulit(x,a);
mulit(y,b);
ans.pb({
a * x, 1, b * y});
printf("%d\n",ans.size());
for(auto v : ans){
printf("%lld",v.x);
if(v.op==0){
printf(" + ");
}
else{
printf(" ^ ");
}
printf("%lld\n",v.y);
}
}