Module1 —— 整数二分的两个模板+浮点二分模板及应用

用二分的思想可以找出这个分界点。
假设我们想二分出来红色（不满足条件的范围）这边的分界点：

1. 找一个中间值mid ：l+r >> 1
2. 写一个函数check()判断时mid时在满足条件（绿色）范围内，还是在不满足条件（红色）范围内。
3. （注意：这里为什么是 l+r+1 ）
   For example：
   如果 l = r - 1 (即左右边界只相差1) ，假设为l+r >> 1 (向下取整)假设if(check(mid)) 判断为true （此时mid = l + r >> 1 == l）则执行l=mid; l=mid=l;陷入死循环，左右边界一直为[l, r] 没有变
   如果是l+r+1>>1则不会发生这个问题（详情自己参考上面推导一遍即可）。
   

两个整数二分模板

//模板1
/———————————————————————————————— 整数二分模板1 ————————————————————————————————\
bool check(int x) {
    
    /* ... */ } // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    
    
	while (l < r)
	{
    
    
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
		else l = mid + 1;
	}
	return l;
}
\———————————————————————————————— 整数二分模板1 ————————————————————————————————/
//模板2
/———————————————————————————————— 整数二分模板2 ————————————————————————————————\
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    
    
	while (l < r)
	{
    
    
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	return l;
}
\———————————————————————————————— 整数二分模板2 ————————————————————————————————/

两个整数二分模板应用

给定一个按照升序排列的长度为 $n$ 的整数数组，以及 $q$ 个查询。

对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

输入格式
第一行包含整数$n$和$q$，表示数组长度和询问个数。

第二行包含$n$个整数（均在$1$ ~ $10000$范围内），表示完整数组。

接下来q行，每行包含一个整数 $k$，表示一个询问元素。

输出格式
共 $q$ 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

数据范围
$1\le n\le 100000$
$1\le q\le 10000$
$1\le k\le 10000$
输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define ll long long
#define int ll
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define MOD 1e9 + 7
using namespace std;
int read()
{
    
    
	int w = 1, s = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch>'9') {
    
     if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    
     s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }
	return s * w;
}
//最大公约数
int gcd(int x,int y) {
    
    
    if(x<y) swap(x,y);//很多人会遗忘，大数在前小数在后
    //递归终止条件千万不要漏了，辗转相除法
    return x % y ? gcd(y, x % y) : y;
}
//计算x和y的最小公倍数
int lcm(int x,int y) {
    
    
    return x * y / gcd(x, y);//使用公式
}
int ksm(int a, int b, int mod) {
    
     int s = 1; while(b) {
    
    if(b&1) s=s*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return s;}
//------------------------ 以上是我常用模板与刷题几乎无关 ------------------------//
const int N = 100010;

int a[N];

signed main()
{
    
    
    int n = read(), m = read();
    for (int i = 0 ;i < n; i++) a[i] = read();
    while (m--) {
    
    
        int x = read();
        //模板1
        /-------------------\
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
    
    
            int mid = l + r >> 1;
            if (a[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        \-------------------/
        if (a[l] != x) printf("-1 -1\n");
        else {
    
    
        	//这里二分完，l和r是一样的，输出什么都可以
            printf("%lld ", l);
            //模板2
            /-------------------\
            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
    
    
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (a[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            \-------------------/
            //这里二分完，l和r是一样的，输出什么都可以
            printf("%lld\n", r);
        }
    }
    return 0;
}

浮点二分模板

浮点数二分解析

用二分的思想可以找出这个分界点。
假设我们想二分出来红色（不满足条件的范围）这边的分界点：

1. 找一个中间值mid ：l+r >> 1（因为是浮点数，所以可以严格的二分，即mid就是中点）
2. 写一个函数check()判断时mid时在满足条件（绿色）范围内，还是在不满足条件（红色）范围内。
3. 当区间长度很小的时候，可以近似的认为找到了答案，例：r-l ≤ 10${}^{-6}$ (如果题目要求保留4位小数，则应该写到-6次方，比有效小数的位数多2)

例题：用二分法做一个sqrt函数 （只能计算≥1的开方）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define ll long long
#define int ll
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define MOD 1e9 + 7
using namespace std;
int read()
{
    
    
	int w = 1, s = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch>'9') {
    
     if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    
     s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }
	return s * w;
}
//最大公约数
int gcd(int x,int y) {
    
    
    if(x<y) swap(x,y);//很多人会遗忘，大数在前小数在后
    //递归终止条件千万不要漏了，辗转相除法
    return x % y ? gcd(y, x % y) : y;
}
//计算x和y的最小公倍数
int lcm(int x,int y) {
    
    
    return x * y / gcd(x, y);//使用公式
}
int ksm(int a, int b, int mod) {
    
     int s = 1; while(b) {
    
    if(b&1) s=s*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return s;}
//------------------------ 以上是我常用模板与刷题几乎无关 ------------------------//

signed main()
{
    
    
	double x;
	scanf("%lf", &x);
	double l = 0 , r = x;
	//如果题目要求保留4位小数，则应该写到-6次方，比有效小数的位数多2
	while (r - l > 1e-6) {
    
    
	//还可以写成 for(int i = 0; i < 100; ++i) 循环100次相当于整个区间/ 2的100次方，最后的结果也是很精确的。
		double mid = (l + r) / 2;
		if (mid * mid >= x) r = mid;
		else l = mid;
	}

	printf("%lf\n",l);
	return 0;
}