Module1 —— mergesort模板

归并排序模板题

给定你一个长度为n的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式
输入共两行，第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数（所有整数均在1~109范围内），表示整个数列。

输出格式
输出共一行，包含 n 个整数，表示排好序的数列。

数据范围：$1\le n\le 100000$
输入样例：

5
3 1 2 4 5

输出样例：

1 2 3 4 5

归并排序 —— 分治思想（双指针算法）

1. 找分界点：$mid=l+r$ >> $1$（下标的中点）分成$[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$
2. 递归排序 $[l,mid]$ 和 $[mid+1,r]$
3. 归并：将左右两个有序的序列合并成一个有序的序列

归并排序模拟图

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<algorithm>
 
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define ll long long
#define int ll
#define INF 0x3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
#define MOD 1e9 + 7
using namespace std;
int read()
{
    
    
	int w = 1, s = 0;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch>'9') {
    
     if (ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
	while (ch >= '0' && ch <= '9') {
    
     s = s * 10 + ch - '0';ch = getchar(); }
	return s * w;
}
//最大公约数
int gcd(int x,int y) {
    
    
    if(x<y) swap(x,y);//很多人会遗忘，大数在前小数在后
    //递归终止条件千万不要漏了，辗转相除法
    return x % y ? gcd(y, x % y) : y;
}
//计算x和y的最小公倍数
int lcm(int x,int y) {
    
    
    return x * y / gcd(x, y);//使用公式
}
int ksm(int a, int b, int mod) {
    
     int s = 1; while(b) {
    
    if(b&1) s=s*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return s;}
//------------------------ 以上是我常用模板与刷题几乎无关 ------------------------//
const int N = 100010;

int a[N];
int tmp[N];//辅助数组

//a[ ]要排序的数组，l和r是排序区间的左右两端
void merge_sort(int a[], int l, int r) {
    
    
    
    if (l >= r) return;//特判只有一个数或者没有数就不用排序了
    
    int mid = l + r >> 1;//找分界点
    
    //递归排序左右两边
    merge_sort(a, l, mid);
    merge_sort(a, mid + 1, r);
    
    //排完左右两边都有序了
    //k是给辅助数组用的
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    //分开两边求
    while (i <= mid && j <= r) {
    
    
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++];
        else tmp[k++] = a[j++];
    }
    //如果有一边还没有排完的话，因为已经有序了，所以可以直接赋值到辅助数组中去
    while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];
    
    //结果从tmp放回a
    for(int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) a[i] = tmp[j]; 
}
signed main()
{
    
    
    int n = read();
    for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = read();
    
    merge_sort(a, 0, n - 1);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%lld ", a[i]);
    return 0;
}

例题：逆序对的数量

给定一个长度为n的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。

逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i < j 且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式
第一行包含整数n，表示数列的长度。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围：$1\le n\le 100000$
输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

求逆序对的数量，分三种情况：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100010;

int a[N];
int tmp[N];
//返回区间里面从l到r逆序对的数量的
ll merge_sort(int a[], int l, int r) {
    
    
    if (l >= r) return 0;
    
    int mid = l + r >> 1;
    //返回左半边内部的逆序对数量+右半边内部的逆序对数量
    ll ans = merge_sort(a, l, mid) + merge_sort(a, mid + 1, r);
    
    //归并的过程
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r) {
    
    
        if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++];
        else {
    
    
            ans += mid - i + 1;//逆序对的数量
            tmp[k++] = a[j++];
        }
    }
    
    while (i <= mid) tmp[k++] = a[i++];
    while (j <= r) tmp[k++] = a[j++];
    
    for (int i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) a[i] = tmp[j];
    
    return ans;
}

int main()
{
    
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    
    printf("%lld", merge_sort(a, 0, n - 1));
    return 0;
}