知识点
来个例题：
前序遍历：ABDECFG
中序遍历：DBEAFCG
后序遍历：DEBFGCA
层序遍历：ABCDEFG
判断题
1-1
There exists a binary tree with 2016 nodes in total, and with 16 nodes having only one child.
译文：存在一棵总共有2016个结点的二叉树，其中有16个结点只有一个孩子
T F
分析： 假设没有孩子的结点（叶结点）个数为n₀，只有一个孩子的结点（度为1的结点）个数为n₁，有两个孩子的结点（度为2的结点）个数为n₂。
则n₀+n₁+n₂=2016 ∵n₀=n₂+1（二叉树的性质：叶结点个数等于度为2的结点个数加1） ∴n₀+n₁+n₂=2016
⇨n₂+1+16+n₂=2016 ⇨2n₂=1999 n₂除不尽，所以答案错误。
公式在课本P118；
1-2
存在一棵总共有2016个结点的二叉树，其中有16个结点只有一个孩子。
T F
同 1-1
1-3
某二叉树的前序和中序遍历序列正好一样，则该二叉树中的任何结点一定都无右孩子。
T F
应是任一结点无左孩子
1-4
一棵有124个结点的完全二叉树，其叶结点个数是确定的。
T F
分析： 假设没有孩子的结点（叶结点）个数为n₀，只有一个孩子的结点（度为1的结点）个数为n₁，有两个孩子的结点（度为2的结点）个数为n₂。
则 n₀+n₁+n₂=124 ∵n₀=n₂+1（二叉树的性质：叶结点个数等于度为2的结点个数加1） ∴n₀+n₁+n₂=124
⇨1+n₁+2n₂=124 ⇨n₁=0 或 n₁=1，又因为n1=0时不成立，所以n1只能为1，所以叶节点的个数是确定的；
1-5
若一个结点是某二叉树的中序遍历序列的最后一个结点，则它必是该树的前序遍历序列中的最后一个结点。
T F
不一定；
单选题
2-1
树最适合于用来表示
A. 有序数据元素
B. 无序数据元素
C. 元素之间无联系的数据
D. 元素之间具有分支层次关系的数据
课本P111：树是以分支关系定义的层次结构；
2-2
设树T的度为4，其中度为1、2、3、4的结点个数分别为4、2、1、1。则T中有多少个叶子结点？
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
度为1,2,3,4的结点个数分别为4,2,1,1
意思就是有只有一个分支的结点有4个,有两个分支的结点有2个,…结点的度：结点拥有的子树数.(每个结点有多少个分支)
叶子（终端结点）：度为零的结点.(没有分支的结点) 树的度：树内各结点的度的最大值.由树的性质知：结点数为所有结点的度数之和加1
同时注意到叶子结点的度数为0 则总结点数(设叶子结点数为X)
1 * 4+2 * 2+3 * 1+4 * 1+X * 0 + 1 = 16
叶子结点数为 X=16-4-2-1-1=8
2-3
三叉树中，度为1的结点有5个，度为2的结点3个，度为3的结点2个，问该树含有几个叶结点？
A. 8
B. 10
C. 12
D. 13
总结点数：1 * 5 + 2 * 3 + 3 * 2 + X * 0 + 1 = 18
叶子结点数：X = 18 - 5 - 3 - 2 = 8
2-4
有一个四叉树，度2的结点数为2，度3的结点数为3，度4的结点数为4。问该树的叶结点个数是多少？
A. 10
B. 12
C. 20
D. 21
总结点数：1 * 0 + 2 * 2 + 3 * 3 + 4 * 4 + X * 0 + 1 = 30
叶子结点数：X = 30 - 2 - 3 - 4 = 21
2-5
一棵二叉树中，双分支结点数为15，单分支结点数为30，则叶子结点数为（）个。
A. 15
B. 16
C. 17
D. 47
总结点数：1 * 30 + 2 * 15 + X * 0 + 1 = 61
叶子结点数：X = 61 - 30 - 15 = 16
2-6
在一棵度为 3 的树中，度为 2 的结点个数是 1，度为 0 的结点个数是 6，则度为 3 的结点个数是 __
A. 2
B. 3
C. 4
总结点数：1 * 0 + 2 * 1 + 3 * X + 0 * 6 + 1 = 3 + 3 * X
叶子结点数：6 = 3 + 3 * X - 1 - X = 2 + 2 * X
X = 2
2-7
已知一棵二叉树的先序遍历结果是ABC，则以下哪个序列是不可能的中序遍历结果：
A. ABC
B. BAC
C. CBA
D. CAB
2-8
已知一棵完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是：
A. 39
B. 52
C. 111
D. 119
该完全二叉树第6层的非叶子结点有 2^(6-1) - 8 = 24，
那么第7层最多有 24 * 2 = 48 个结点
而前6层最多有 2^6 - 1 = 63 个结点
所以该完全二叉树的结点个数最多有 63 + 48 = 111 个
2-9
在一个用数组表示的完全二叉树中，如果根结点下标为1，那么下标为17和19这两个结点的最近公共祖先结点在哪里（数组下标）？ （注：两个结点的“公共祖先结点”是指同时都是这两个结点祖先的结点）
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
若父节点的下标为 i，则左子节点下标为 2i，右子节点下标为 2i+1；
所以当 2i + 1 = 17，2j + 1 =19 时，可得 i = 8，j = 9；
当 2a = 8，2b + 1 = 9时，可得 a = 4，b = 4；
所以公共祖先结点的下标为 4；
2-10
具有65个结点的完全二叉树其深度为（根的深度为1）：
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
因为2^6-1< 65 < 2^7-1
所以是6+1=7
2-11
具有1102个结点的完全二叉树一定有__个叶子结点。
A. 79
B. 551
C. 1063
D. 不确定
设n2为度为2的节点，设n1为度为1的节点，n0为度为0的节点；
叶结点个数等于度为2的结点个数加1，n0=n2+1
n0+n1+n2=1102=n
n = 2 * n2 + 1 + n1
完全二叉树度为1的节点只能有0个或1个
所以n1=0或者1，用n=2*n2+n1+1;算一下，n2肯定是整数，把0舍去；
求出n2=550；
度为0的节点数等于度为2的节点数+1；
所以叶子节点数为551
2-12
已知二叉树的先序遍历序列为ABCDEFGH，中序遍历序列为CBEDFAGH，则该二叉树形态中，父节点的右子节点为（）。
A. D
B. H
C. G
D. F
编程填空题
5-1 下列代码的功能是将二叉树T中的结点按照层序遍历的顺序输出。
typedef struct TreeNode *Tree;
struct TreeNode
{
int Key;
Tree Left;
Tree Right;
};
void Level_order ( Tree T )
{
Queue Q;
if ( !T ) return;
Q = CreateQueue( MaxElements );
Enqueue( T, Q ); //入队操作
while ( !IsEmpty( Q ) ){
T = Front_Dequeue ( Q ); /* return the front element and delete it from Q */
printf("%d ", T->Key);
if (T->Left)//如果左子树不为空将左节点入队
Enqueue(T->Left,Q);
if (T->Right) //如果右子树不为空将右节点入队
Enqueue(T->Right,Q);
}
}
编程题
7-1 玩转二叉树
给定一棵二叉树的中序遍历和前序遍历，请你先将树做个镜面反转，再输出反转后的层序遍历的序列。所谓镜面反转，是指将所有非叶结点的左右孩子对换。这里假设键值都是互不相等的正整数。
输入格式：
输入第一行给出一个正整数N（≤30），是二叉树中结点的个数。第二行给出其中序遍历序列。第三行给出其前序遍历序列。数字间以空格分隔。
输出格式：
在一行中输出该树反转后的层序遍历的序列。数字间以1个空格分隔，行首尾不得有多余空格。
输入样例：
7
1 2 3 4 5 6 7
4 1 3 2 6 5 7
输出样例：
4 6 1 7 5 3 2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct BiNode {
int data;
struct BiNode *lchild, *rchild; //左右孩子指针
}BiNode, *BiTree;
BiNode *build(int n, int *be, int *in){
if(n<=0) return NULL;
BiNode *T;
T = new BiNode;
T->data=be[0];
T->lchild=NULL;
T->rchild=NULL;
int i;
for(i=0;i<n;i++){
if(be[0]==in[i]) break; //根据前序与中序相比较获取下一个根节点位置
}
T->lchild=build(i,be+1,in);
T->rchild=build(n-1-i,be+1+i,in+1+i);
return T;
}
void seout(BiNode *T,int n ){
queue<BiNode *> q;
static int sum=n;
q.push(T);
while(!q.empty()){
T=q.front();
q.pop();
n++;
if(T!=NULL){
cout<<T->data;
sum--;
if(sum>0) cout<<" ";
q.push(T->rchild);
q.push(T->lchild);
}
}
return;
}
int main(){
int n,in[30],be[30];
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>in[i];
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>be[i];
BiNode *T=build(n,be,in);
seout(T,n);
return 0;
}
7-2 树的遍历
给定一棵二叉树的后序遍历和中序遍历，请你输出其层序遍历的序列。这里假设键值都是互不相等的正整数。
输入格式：
输入第一行给出一个正整数N（≤30），是二叉树中结点的个数。第二行给出其后序遍历序列。第三行给出其中序遍历序列。数字间以空格分隔。
输出格式：
在一行中输出该树的层序遍历的序列。数字间以1个空格分隔，行首尾不得有多余空格。
输入样例：
7
2 3 1 5 7 6 4
1 2 3 4 5 6 7
输出样例：
4 1 6 3 5 7 2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef struct TreeNode{
int val;
struct TreeNode *lchild,*rchild;
}TreeNode;
int inorder[35],postor[35];//因为函数build需要用到，中序后序应该建成全局数组
TreeNode* build(int inB,int inE,int postB,int postE){
//建树
int i = 0;
TreeNode* newnode =new TreeNode;
newnode->val = postor[postE];//后序最后一个输入即根节点
while(inorder[inB + i] != postor[postE])//找到根节点
i++;
if(i > 0)//左子树存在
newnode->lchild = build(inB,inB + i - 1,postB,postB + i -1);//中后左子树长度相等，且位置相同
else
newnode->lchild = NULL;//即使是空值也必须初始化！
if(inB + i < inE)//右子树存在
newnode->rchild = build(inB + i + 1,inE,postB + i ,postE - 1);//注意最后一个结点是已经赋给树的根节点，应该刨除
else
newnode->rchild = NULL;//同上，否则层序遍历无法进行
return newnode;
}//build
void levelorder(TreeNode* T){
//借助队列，层次遍历
queue<TreeNode*> q;
if(T == NULL)
exit(-1);
q.push(T);
TreeNode* front;
while(!q.empty()){
front = q.front();
q.pop();
if(front->lchild != NULL){
//左结点入队
q.push(front->lchild);
}
if(front->rchild != NULL)//右结点入队
q.push(front->rchild);
if(front->val != T->val)//输出
cout<<" ";
cout<<front->val;
}
} //levelorder
void DeleteTree(TreeNode * T)
{
if(T == NULL) return;
DeleteTree(T->lchild);
DeleteTree(T->rchild);
delete T;
}
int main(){
int n,i;
cin>>n;
for(i = 1;i <= n; i++)//输入后序遍历
cin>>postor[i];
for(i = 1;i <= n; i++)//输入中序遍历
cin>>inorder[i];
TreeNode *T = build(1,n,1,n);//建树
levelorder(T);//层序遍历
DeleteTree(T);
return 0;
}
7-3 列出叶结点
对于给定的二叉树，本题要求你按从上到下、从左到右的顺序输出其所有叶节点。
输入格式：
首先第一行给出一个正整数 N（≤10），为树中结点总数。树中的结点从 0 到 N−1 编号。随后 N 行，每行给出一个对应结点左右孩子的编号。如果某个孩子不存在，则在对应位置给出 “-”。编号间以 1 个空格分隔。
输出格式：
在一行中按规定顺序输出叶节点的编号。编号间以 1 个空格分隔，行首尾不得有多余空格。
输入样例：
8
1 -
- -
0 -
2 7
- -
- -
5 -
4 6
输出样例：
4 1 5
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
struct node
{
int l,r;
}q[10];
int v[10];
vector<int> vv;//用来存放要输出的叶节点
queue<int> Q;
void bfs()
{
for(int i=0;i<Q.size();i++)
{
int num=Q.front();
Q.pop();
if(q[num].l==-1&&q[num].r==-1)
vv.push_back(num);
if(q[num].l!=-1)
Q.push(q[num].l);
if(q[num].r!=-1)
Q.push(q[num].r);
}
if(Q.size())
bfs();
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
char a,b;
//数组v用来标记出现的结点，根节点不会出现在左右子树中，不会被标记
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a>>b;
if(a=='-')
q[i].l=-1;
else
{
q[i].l=a-'0';
v[a-'0']=1;
}
if(b=='-')
q[i].r=-1;
else
{
q[i].r=b-'0';
v[b-'0']=1;
}
}
//找到根节点
int root;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(v[i]==0)
{
root=i;
break;
}
}
Q.push(root);
bfs();
for(int i=0;i<vv.size()-1;i++)
cout<<vv[i]<<" ";
cout<<vv[vv.size()-1]<<endl;
return 0;
}
7-4 小字辈
本题给定一个庞大家族的家谱，要请你给出最小一辈的名单。
输入格式：
输入在第一行给出家族人口总数 N（不超过 100 000 的正整数） —— 简单起见，我们把家族成员从 1 到 N 编号。随后第二行给出 N 个编号，其中第 i 个编号对应第 i 位成员的父/母。家谱中辈分最高的老祖宗对应的父/母编号为 -1。一行中的数字间以空格分隔。
输出格式：
首先输出最小的辈分（老祖宗的辈分为 1，以下逐级递增）。然后在第二行按递增顺序输出辈分最小的成员的编号。编号间以一个空格分隔，行首尾不得有多余空格。
输入样例：
9
2 6 5 5 -1 5 6 4 7
输出样例：
4
1 9
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<ctype.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
using namespace std;
vector<int>v[200005];
int vv[100005];
queue<int>q;
int main(){
int n,x,lzz;//lzz 记录老祖宗
scanf("%d",&n);
if(n==1){
}
for(int i=1; i<=n; i++){
scanf("%d",&x);
if(x==-1)
lzz=i;
else
v[x].push_back(i);
}
if(n==1){
printf("%d\n%d",1,1);
return 0;
}
q.push(lzz);
int bfen=1; //统计辈分
vv[lzz]=1;
while(!q.empty()){
int temp = q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<v[temp].size();i++){
vv[v[temp][i]] = vv[temp]+1;//更新每个人的辈分
bfen = max(bfen,vv[v[temp][i]]);//更新（获得）最小辈分的值
q.push(v[temp][i]);//把下一次要遍历的入队
}
}
printf("%d\n",bfen);
int flag = 0;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(vv[i]==bfen){
if(!flag){
printf("%d",i);
flag = 1;
}
else
printf(" %d",i);
}
}
}