Generate a String 线性DP + 单调队列优化

传送门

题目描述

给定正整数 n, x, y，你要生成一个长度为 n 的字符串，有两种操作：

添一字符或删去一个原有字符，代价为 x；
将已有字串复制粘贴一次（翻倍），代价为 y。
求最小代价。

分析

一个很简单的状态转移方程
f[i] = min(f[i - 1] + x,f[i + 1] + y);
但是很显然这样处理这个问题就有了环，不能去线性dp
然后我们需要思考什么时候需要去进行删除操作
很显然，只有当我们的字符串过长，需要去删减一部分然后去采取翻倍操作的时候才需要进行删减操作，所以我们可以写出另一个状态转移方程

f[i] = min(f[i - 1] + x,f[k] + y + (k * 2 - i) * x);

然后就会发现，这其实是一个单调队列优化的线性dp问题

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#pragma GCC optimize("Ofast","unroll-loops","omit-frame-pointer","inline")
#pragma GCC option("arch=native","tune=native","no-zero-upper")
#pragma GCC target("avx2")
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e7 + 10;
ll f[N],q[N];
ll n,x,y;

int main(){
    
    
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&x,&y);
    int hh = 1,tt = 0;
    for(ll i = 1;i <= n;i++){
    
    
        while(hh <= tt && hh * 2 < i) ++hh;
        f[i] = f[i - 1] + x;
        if(hh <= tt) f[i] = min(f[i],f[q[hh]] + y + (q[hh] * 2 - i) * x);
        while(hh <= tt && f[q[tt]] + q[ tt ] * 2ll * x >= f[i] + i * 2ll * x) tt--;
        q[++tt] = i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}

/**
*　　┏┓　　　┏┓+ +
*　┏┛┻━━━┛┻┓ + +
*　┃　　　　　　　┃
*　┃　　　━　　　┃ ++ + + +
*  ████━████+
*  ◥██◤　◥██◤ +
*　┃　　　┻　　　┃
*　┃　　　　　　　┃ + +
*　┗━┓　　　┏━┛
*　　　┃　　　┃ + + + +Code is far away from 　
*　　　┃　　　┃ + bug with the animal protecting
*　　　┃　 　 ┗━━━┓ 神兽保佑,代码无bug　
*　　　┃ 　　　　　　 ┣┓
*　　  ┃ 　　　　　 　┏┛
*　    ┗┓┓┏━┳┓┏┛ + + + +
*　　　　┃┫┫　┃┫┫
*　　　　┗┻┛　┗┻┛+ + + +
*/