Dijkstra求最短路算法 ( 超级超级详细的 ) 不断更新中

Dijkstra求最短路

最短路问题

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先讲讲朴素版本的

Dijkstra算法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是从起始点开始，采用贪心算法的策略，每次遍历到始点距离最近且未访问过的顶点的邻接节点，直到扩展到终点为止。

我们先看看从1号点到n号点的最短距离怎么求。

实现过程

在这里插入图片描述

代码

int Dijkstra()
{
    
    
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//除1号结点外，其他均初始为无穷大
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<n;i++) //n次迭代，每次寻找不在s中距离最近的点t
    {
    
    
        int t=-1;// 便于更新第一个点
        for(int j=1;j<=n;j++)
          if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) t=j;
        st[t]=true;  //将t加到s中
        for(int j=1;j<=n;j++)  //用t更新其他点的距离
          dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; //路径不存在
    else return dist[n];
}

接下来给出模板
朴素dijkstra算法
时间复杂是 O(n^2+m), n 表示点数，m 表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
    
    
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
    
    
        int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

好了接下来我们来看一道模板题，实践是检验真理的唯一标准

AcWing 849. Dijkstra求最短路 I

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。
输入格式
第一行包含整数n和m。
接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。
输出格式
输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出-1。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。
输入样例：
3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4
输出样例：
3

完整代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N];    //稠密图用邻接矩阵存储比较节省空间
int dist[N];    //dist[i] i结点到起始点(1号结点)的距离
bool st[N] ;    //st[i] 用于标记i结点的最短路是否确定，若确定st[i]=true;
int n,m;
int Dijkstra()
{
    
    
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);//除1号结点外，其他均初始为无穷大
    dist[1]=0;
    for(int i=0;i<n;i++) //n次迭代，每次寻找不在s中距离最近的点t
    {
    
    
        int t=-1;// 便于更新第一个点
        for(int j=1;j<=n;j++)
          if(!st[j]&&(t==-1||dist[j]<dist[t])) t=j;
        st[t]=true;  //将t加到s中
        for(int j=1;j<=n;j++)  //用t更新其他点的距离
          dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1; //路径不存在
    else return dist[n];
}
int main()
{
    
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0x3f,sizeof g);   //邻接矩阵的初始化，由于求的是最小值，因此初始为无穷大
    while(m--)
    {
    
    
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        g[x][y]=min(g[x][y],z); //重边中去取最小值
    }
    printf("%d\n",Dijkstra());
    return 0;
}

如果有些地方不明白的话，不要着急，接着往下看

常见问题合集

0x3f为什么赋值的时候可以memset(dist,0x3f,sizeof dist)但是到后面验证的时候必须是if(dist[n]==0x3f3f3f3f)而不能是if(dist[n]==0x3f)
回答:：memset是按字节来初始化的，int包含4个字节，所以初始化之后的值就是0x3f3f3f3f。
为什么要用memset(dist,0x3f,sizeof dist)来初始化
回答:：0x3f3f3f3f的十进制是1061109567，是1e9级别的（和0x7fffffff一个数量级，0x7fffffff代表了32-bit int的最大值），而一般场合下的数据都是小于1e9的，所以它可以作为无穷大使用而不致出现数据大于无穷大的情形。另一方面，由于一般的数据都不会大于10^9，所以当我们把无穷大加上一个数据时，它并不会溢出（这就满足了“无穷大加一个有穷的数依然是无穷大”），事实上0x3f3f3f3f+0x3f3f3f3f=2122219134，这非常大但却没有超过32-bit int的表示范围，所以0x3f3f3f3f还满足了我们“无穷大加无穷大还是无穷大”的需求。
for(int i=0;i<n;i++) { t=-1 } 这里为什么t要赋值为 -1
回答: 由于每一次都要找到还没有确定最短路距离的所有点中，距离当前的点最短的点。t = - 1是为了在st这个集合中找第一个点更新时候的方便所设定的。
如果是问编号a到b的最短距离该怎么改呢? （好问题）
回答： 初始化时将 dist[a]=0,以及返回时return dist[b]。
自环和重边对 Dijkstrea算法有影响吗？
回答： 自环在朴素版dijkstra算法中是没有任何影响的，所以自环的权值是多少都可以，只要不是负数就行。而重边时，我们去取重边中的最小值即代码g[x][y]=min(g[x][y],z)。
为什么要用邻接矩阵去存贮，而不是邻接表？
回答： 我们采用邻接矩阵还是采用邻接表来表示图，需要判断一个图是稀疏图还是稠密图。稠密图指的是边的条数|E|接近于|V|²，稀疏图是指边的条数|E|远小于于|V|²（数量级差很多）。本题是稠密图，显然稠密图用邻接矩阵存储比较节省空间，反之用邻接表存储。

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