为什么机器人运动学逆解最好采用双变量反正切函数atan2而不用反正/余弦函数？

一、采用$atan2(y,x)$的三点优势

  机器人运动学逆解最好采用双变量反正切函数$atan2$而不用反正/余弦函数$asin$和$acos$的原因主要有：
  $1$.反正弦函数$asin(x)$的值域为$[-\pi /2,\pi /2]$，反余弦函数$acos(x)$的值域为$[0,\pi ]$，而双变量反正切函数$atan2(y,x)$的值域为$[-\pi ,\pi ]$。机器人关节角度范围一般在$[-\pi ,\pi ]$之间，采用$atan2(y,x)$更加方便、直接，避免了额外的角度范围判断。
  $2$.$atan2(y,x)$相对于$asin(x)$或$acos(x)$，对输入变量$x$、$y$具有更好的容错性。这里的容错性，主要是指由于计算精度的影响，$x$的实际计算值有可能稍微大于1或小于-1，这时$asin(x)$或$acos(x)$的值是未定义的，而$atan2(y,x)$可以得到正确的结果。当然，我们也可以通过判断$x$的值在计算误差范围内是否可以认为是-1或1，强制赋值为-1或1，从而解决这个问题。
  $3$.对于函数$y=f(x)$，$x$的误差$\Delta x$引起$y$的误差为$\Delta y\approx f^{\prime }(x)\Delta x$。
  若$f(x)=asin(x)$，当$x\in (-1,1)$时，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\in [1,+\infty )$
  若$f(x)=acos(x)$，当$x\in (-1,1)$时，$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\in (-\infty ,-1]$
  若$f(x)=atan(x)$，当$x\in (-\infty ,+\infty )$时，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}\in (0,1]$
  由于实际机器人的臂长、零点、减速比等运动学参数有误差，使用$asin(x)$或$acos(x)$误差会放大，从保证逆解精度均匀性来看，在求解机器人运动学逆解时宜采用$atan2(y,x)$。

二、参考文献/资料

机器人动力学与控制 霍伟