2020洛谷初赛模拟难题详解

Update

首先，先申明一下，本文有一点愤怒的情感……

怎么感觉一直在$d$人QAQ

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首先，可以得到这张图片的大小为$4096\times 2160\times 24=n(bit)$。

所以，它的大小为$\frac{n}{1024^2}$MB或$\frac{n}{1024}$KB；直接带进去计算，看看哪个最接近即可。

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有一个nth_element的神奇的函数，基于随机化，可以做到$O(n)$，而且极难卡掉。

顺便说一下nth_element函数是怎样工作的：每次随机一个数，把所有比这个数小的放到左边，其他的放到右边；如果左边的数偏少，说明它太小了，要往右边查；否则往左边查。

基于随机化的这个函数的复杂度为$O(n+\frac{n}{2}+\frac{n}{4}+\dots \dots +1)$，大约是$O(2n)$，省略系数就是$O(n)$。

但是，如果运气差到极点，每次操作(即选定一个数，两边分)选定的数都是最小值或最大值，甚至比最小值还要小，比最大值还要大……那么，这个复杂度显然会退化到$O(n^2)$。

但是，千万不要害怕用这个函数，就像我曾经很菜的时候(现在也很菜)在洛谷里面发帖怕快排被卡……(我是不是很菜)……考场上，不会有人卡这个；再说了，有人会卡，也绝对不可能卡掉，这样基于随机数的函数如果你怕别人卡，开头加个srand(time(0))，天知道你的程序什么时候会被CCF的机给编译，这样你说怎么卡……

顺便说一句，这个函数的常数蛮大的。

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分别分析一下每一个东西：

①谁说这个图就联通了？
②树的性质，由于无环这个定理显然成立；
③哪有树没有叶节点的？就算这棵树就一个节点，它的度数也不大于$1$啊！
④扯……

所以选②③。

7.

原来四堆卷子是$10,13,14,5$，分一下，变成$10+13=23$和$14+5=19$；然后在第一堆的$23$个卷子中分一波，在第二堆中也分一波……

于是，至少会进行$42+23+19=84$次份卷子的操作。

10.

每次链表都是在最前面的那个数的前面插，显然会进行$k$不同节点的访问。

15.

可爱的NOI 2020……

阅读程序1

程序理解

一个用记忆化搜索来优化的递归。

题目详解

①显然错误，如果读入的$m$就是个奇数，那递归的第一层$m$不就是奇数了吗？

②显然正确。本来$m=6$，加的是上一行位置$0,2,4$的值；现在改了，加的就是上一行位置$0,2,4,6$的值，可能发生变化。

③正确。记忆化搜索只有优化复杂度的功能，绝对没有使程序正确的功能（这里的正确不包含"时间复杂度"或"空间复杂度"正确）

④考试的时候忘了……感谢洛谷给我查漏补缺的机会。于是瞎猜了一个，就对了……

这里一定要详解一下。

众所周知，$memset$有一个比较特殊的地方，即八位变一位。我们使用$memset(a,255,sizeof(a))$，由于$255=(11111111{)}_2$，这时我们相当于把整个数组中所有数都变成机器码$(11111111111111111111111111111111{)}_2$。

由于这是机器码，所以第一位$1$表示的负数，所以它是补码。根据补码的取反加一原则，真值为$-1$。

所以就相当于全部搞成$-1$了……这个一定要搞清楚，之前没考过，今年我觉得要考。

顺便说一句，如果这是$longlong$的话，那仍然是$8$位变$1$位，但是变成了$64$位数；$short$就是$16$位数。容易挖坑。

(5)自己推一波，答案是$B$。

(6)根据记忆化的特点，在这个$n\times m$的矩形中，每个位置最多被访问一次——同时，由于每求一个位置的$luo$值，它均扫描了上一行的许多数。

所以复杂度为$O(nm\times m)$=$O(m^{2}n)$。

阅读程序2

程序理解

首先，通过$Floyd$跑出全源最短路。

然后，枚举两个不同的有序点对$(i,j)$；如果原图中没有这两个点连成的边，那么就把这条边添上去，边的长度为$1$；否则，这条边的长度变成$0$。

然后，每次通过$i,j$为桥梁，求出任意两个点之间最短路；然后再求出所有有序点对的最短路之和。假设对于$(i,j)$这个最短路之和为$sum$，我们要求出对于所有的$(i,j)$的这个$sum$的最小值。

题目详解

①显然错误。$k$表示阶段，你换一下肯定错；还记得写$ST$板子时我们犯的错误吗？

②显然错误。什么叫与$m$无关？不是读入了$m$条边吗？又有谁跟你说$n^2$与$m$是同级的？

③正确。显然无法得到正确结果。比如原图是一条链，每条边的长度都是$10000$，这样不是就嗝屁了……

④正确。枚举$i,j$为桥梁，与枚举$j,i$为桥梁并没有多大顺序问题。

⑤自己推一波，答案是$A$。

⑥很显然的一个$Floyd$啊……这与生成树有什么关系……显然是一个三重循环，你说$Dij$这么牛皮的复杂度方法要三重循环？一个优先队列加上一个枚举出边不就完事了……

阅读程序3

竟然错了两个选择题，我太菜了。

程序理解

先通过杨辉三角形的递推公式求出不同$i,j$的$C_i^j$。

然后，通过二位前缀和，求出$sum_{i,j}=\sum_{ii=1}^i ${\sum }_{jj=1}^j{A}_{i,j}$

然后枚举输入$u,v$，就可以愉快地直接输出$su{m}_{u,v}$的值啦。

题目详解

①显然错误。如果$i=j$也是$0$？你的意思是$C_i^i=0$，是吗？

②错误。我太菜了，考试的时候理解错了……这里的意思是$A_{i,j}$表示的是$A_i^j$。显然错误，前面已经分析过了。

③错误。我太菜了，出了严重的错误……膜$MOD$没看见？如果看见的话，本题就能选对了，可惜$OI$的世界没有如果。

④显然正确，根据取膜的性质。

⑤选$C$。自己算吧……考场上拿到试卷，还没有发现这个$1\le i,j\le 100$的锅的时候，差点因为要算$C_{100,50}$膜$MOD$而放弃本题……事实上很简单的，只需要输出$C_{10}^5$。

⑥选$C$。自己算一下吧，第$6$题思维含量不大。

完善程序1

做这种题，绝对不能按照题号来逐个填，要按照主程序从上到下来填，记得带入语境就可以……

所以，一定要记得whk中做完型的时候老师提出的要求

④如果它没有关注任何人，直接干他丫的。

⑤之前已经处理过没关注人的……现在显然都无法在不影响其他人的条件下干人；于是，我们就处理所有未访问到的xxs，一一尝试干掉，选$C$。

①不管它有没有被干掉，先让它的关注者关注的人少一个，选$C$。

②这里填B。即，它的关注者要么没有关注别人，要么它自己没有被干掉，继续尝试"隔一个干一个"。

③根据②的思路，选$D$。

完善程序2

比较水，详解略掉。