2020CCPC(威海) - Rencontre(树形dp)

题目大意：给出一棵带权树，规定 ，解释一下就是当确定三个点 u1 , u2 , u3 后，需要找到一个点 v 到三个点的距离之和最小，现在给出 u1 , u2 , u3 的可行取值，问 f 函数的期望是多少

题目分析：考虑转换模型，对于给定的 u1 , u2 和 u3 来说，不难猜出点 v 是唯一存在的（不会证明），相应的这个最短的距离之和也是唯一确定的，且可以表示为 

这样一来根据两个期望的基本公式进行转换：

1. E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )
2. E( CX ) = CE( X )

如此一来就将 u1 , u2 , u3 的贡献拆成了分别独立的三组，再考虑对于 E( dis( u , v ) ) 该如何去求

现在问题就是如何快速求出 E( dis( u1 , u2 ) ) 了

接下来一个思维点就是，需要想到计算每条边的贡献，具体就是，对于一条边 ( u , v ) 来说，当移除掉这条边后，整棵树将会被分成不连通的两个部分，记为 T1 和 T2，比较显然的是：

1. T1 中的 u1 到 T2 中的 u2 必然会经过当前边
2. T1 中的 u2 到 T2 中的 u1 必然会经过当前边

直接树形 dp 就好了

代码：
 

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
     
typedef long long LL;
     
typedef unsigned long long ull;
     
const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=2e5+100;

vector<pair<int,int>>node[N];

LL sz[4][N],cnt[4];

double ans=0;

void dfs1(int u,int fa)
{
	for(auto it:node[u])
	{
		int v=it.first;
		if(v==fa)
			continue;
		dfs1(v,u);
		for(int i=1;i<=3;i++)
			sz[i][u]+=sz[i][v];
	}
}

void dfs2(int u,int fa)
{
	for(auto it:node[u])
	{
		int v=it.first,w=it.second;
		if(v==fa)
			continue;
		dfs2(v,u);
		for(int i=1;i<=3;i++)
			for(int j=1;j<=3;j++)
				if(i!=j)
					ans+=1.0*(sz[i][1]-sz[i][v])*sz[j][v]*w/cnt[i]/cnt[j]/2;
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		node[u].emplace_back(v,w);
		node[v].emplace_back(u,w);
	}
	for(int i=1;i<=3;i++)
	{
		scanf("%d",cnt+i);
		for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			sz[i][x]++;
		}
	}
	dfs1(1,-1);
	dfs2(1,-1);
	printf("%.10f\n",ans);










    return 0;
}