【优质信源】计划02--多用户通信中总速率优化问题的一些凸优化模式

        Reviewed by ： @刘大 @D.Han；
前置知识：矩阵论/矩阵分析，概率论，通信原理，凸优化。

自从第一代移动通信系统（大哥大）出现以来，移动通信的爆发式发展带来了无线通信系统使用人群的暴增。从此之后，通信和信号处理领域的关注重点，也从传统的点对点通信场景，逐步拓展到多用户通信场景。

时至今日，多用户场景已经成为通信和信号处理领域最重要的基础场景之一，它的数学结构和特征也是事实上的、很多新兴研究方向的参考基础。从干扰对齐（Interference Alignment）到近期新兴的智能反射面（Intelligent Reflecting Surface），再到跨领域的雷达通信一体化（Radar-Communication Co-design）和雷达通信共存（Radar-Communication Co-existence），多用户通信模型和基于其上的凸优化算法都经久不衰。这些用户间是可能协作也可能非协作，亦或存在恶意；这些用户的目标可能是能量有效、单用户传输速率最大、亦或希望总信道容量最大，不论如何，上述问题每年都有数十篇文章发表。

对于一个通信科研/学术问题，重点并不是研究人员是否知道某些特性，而是是否能够通过一种合理的简化/假设，抓住主要矛盾，把现实问题数学化，也就是是否能够建立或者找到合适的模型。比如，如果你想要做MU-MIMO的研究，那么同样是MIMO场景，MU-MIMO和SU-MIMO的数学差异到底是什么？

为了解决这个问题，在这篇文章里，我将基于我自己的一些经验，尽量用人话介绍：

1) 多用户通信中的数学模型、

2)以干扰信道模型为基础，所产生的一类特殊的优化问题---信道容量优化

3) 以及该场景下一些常见的优化约束条件。

希望本文能够作为研究生/低年级博士生入门此领域的概要介绍。

1. 多用户通信和数学模型

多用户通信，如果我们细究下去，「多址信道（Multiple Access Channel，MAC）」和「广播信道（Broadcast Channel，BC）」是其中最简单的两种信道模型。当然即使如此，这两种简单信道的应用也包罗万象，包括卫星广播（卫星单一发射，多个地面站接收）、基站多址接入（多终端发射，单基站接收）等等。

多址信道（多个发射端一个接收端）和广播信道（一个发射端多个接收端）

通常，当多个通信用户共享同一个无线电（信道）资源、同时、各自独立地传输信息时，我们称这种方式为多用户通信。多用户通信目前活跃的场景有很多，大范围上可以分为MAC、BC和干扰信道(Interference Channel）。

让我们从基础的MAC信道开始。

1. MAC信道模型。MAC信道模型通常适合基站上行/下行链路建模，目前在多用户MIMO（MU-MIMO）研究中应用广泛。如上所述，MAC信道的特点是对于每个用户，发送/接收的信息不同。

有人说多址和常用的复用（multiplexing）技术体系近似，因为都需要通过考虑信道资源的正交性（可以是空间/时间/频率），在同样的信道资源下划分子信道，从而完成对不同用户不同信息的收发。也正因为如此，MAC信道模型非常适合MU-MIMO/or OFDM技术体系。此外逻辑上需要考虑到每个用户都会经历不同的信道衰落。

那么我们如何把这个特点提现在数学模型里呢？对于 K个上行用户来说，等价基带数学模型可以简化为：

$\mathbf{y} = \sum\limits_{k=1}^{K}{\bf H}_{k}{\bf x}_{k}+{\bf z},$

其中， $\mathbf{y}\in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 是基站接收到的M维信号向量；因为存在K个用户，那么每个用户所发送的信息可能长度不同，对k个用户，我们记为 $N_k$ 。这样，第k个用户发送的信息 $\mathbf{x}_k\in \mathbb{C}^{N_k \times 1}$ 会经过各自的信道 $\mathbf{H}_k \in \mathbb{C}^{M \times N_k}$ 才能到达基站端，我们用 $\mathbf{z}\in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 来表示基站所接收到的高斯白噪声。

特别强调，对于重点不是信道优化的MAC场景模型来说，我们通常需要假设信道是慢衰落或者块衰落，并假设完美的信道估计算法，以保证所有的信道 $\mathbf{H}_k$ 都是确定值，不然会显著增加该模型里优化问题的数学计算难度。这个强调也适用于下边的广播信道(BC)模型和干扰信道(IC)模型。

2. BC信道模型。BC信道通常适合卫星通信建模，它的特点是对于每个用户，都会收发相同的信息，这同样需要在逻辑上考虑各个用户所经历的不同信道衰落。对于 K个广播用户来说，等价基带数学模型可以简化为：

${\bf y}_{k}={\bf H}_{k}^{H}{\bf x}+{\bf z}_{k},\ k=1,\ldots,K,$

因为发送的信息相同，接收方不有多个，所以我们获得了K个联立方程组。其中， $\mathbf{y}_k\in \mathbb{C}^{N_k \times 1}$ 是第K个用户接收到的 $N_k$ 维接收信号向量，而 $\mathbf{x}\in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 是一个M维的发送信号向量。为了和MAC信道模型统一，从而简化模型，我们不重新定义符号，而是对 $\mathbf{H}_k^H \in \mathbb{C}^{N_k \times M}$ 进行Hermitian变换，得到了BC信道中的对第k个用户的信道矩阵 $\mathbf{H}_k^H \in \mathbb{C}^{N_k \times M}$ 。

针对不同场景，BC信道同样有很多变种。比如，因为信息x带有相同的信息，但是接收用户可能会因为一些原因被分组（比如用户簇），这时候BC信道会进化为多播信道(multicast），或者更进一步，如果这个用户簇里只有一个用户，那么它被称做unicast。

3.IC信道模型。上述MAC、BC信道模型是一些比较简单的多用户信道模型，这些信道模型之所以实用，是因为存在一些基础设施假设，我们称它们为Infrastructure-specified场景，如上所述，基站、卫星通信等等。它们利用Infrastructure假设，避免了一些对于特定问题很trivial的数学假设。

但是，如果我们不知道当前网络基础结构，或者网络结构是自组织的话，比如Ad-hoc网络，那么这时候常用的信道模型需要更加泛化，即是干扰信道（Interference Channel，IC）模型。

在IC信道模型中，我们去除了MAC信道中的子信道正交化前提，去掉了BC信道中的相同信息假设，同样，我们不限制场景中所有用户的收发。这时候，对于K个用户共存的场景，信道就变成了：

${\bf y}_{k}={\bf H}_{kk}{\bf x}_{k}+\sum\limits_{i=1,i\neq k}^{K}{\bf H}_{ik}{\bf x}_{i}+{\bf z}_{k},\ k=1,\ldots,K,$

这同样是K个方程组联立的形式，我在这里强烈各位对比MAC和BC信道模型，找到区别。其中 ${\bf H}_{kk}$ 代表第k个用户发射机到接收机的直连信道(direct link)，传输的是它自己想要的信息，而 ${\bf H}_{ik}$ 代表着从第i个用户到第k个用户的接收机链路(cross-user link)，传输的信息是干扰，所以被称作干扰信道模型。

这里其它符号都有解释过，我就不再赘述。

这也是基础的信道模型，还有很多同类的数学模型，比如信息安全中的wiretap channel，雷达通信中的Mutual Interference Channel，比如刚才提到的Intelligent Reflecting Surface，或者cell-free的通信模型，或者One-bit问题。

目前通信领域挖大坑，（除了机器学习以外）基本都是找到了一个比较practical的问题，简化出了新的数学模型。这也助长了比较高端的灌水方式，就是传说中的大杂烩灌水法，这里不展开说了。

（当然我也没资格评价这种挖坑和大杂烩的好坏，毕竟我还是个菜鸡，说不定也还指望这种灌水法跟大牛混口饭吃。）

2.干扰信道模型下的总速率优化

我们现在有了一个最基本的信道模型，稍加改动它就可以被应用在空/时/频域场景中，并通过某些凸优化模式，对空/时/频域中的可控自由度进行修改，从而求得一类或者多类凸优化问题的解。

这里的可控自由度，

在空域可以是波束赋形向量（beamforming）/预编码矩阵（precoding，需要考虑时间和符号周期），这类问题被称作beamforming/precoding design。
在频域可以是OFDM信号的抽头权重分配/或者功率分配来补偿信道，这类问题被称作OFDM中的Power Allocation Problem。
在时域可以是信号码本（当然码本设计不止是时域）。

您可以看到，可控自由度有很多，优化问题自然也有很多。

以空间域优化为例，它可以是天线的beam-pattern，可以是3dB波束宽度，可以是SINR，可以是点对点的信道容量，可以是outage capacity，可以是检测概率（detection probability），可以是平均误码率（Mean Error Rate），更可以是各种跨层指标，比如能量利用率。当然也可以是多用户场景中的一个比较重要的指标，就是下文我主要描述的这类比较foundamental的问题，总速率优化问题（Sum-Rate Optimization Problem）。

那么，什么是Sum-Rate Optimization Problem？

众所周知，自从香农祖师爷以来，通信中最关键的指标就是信道容量（Channel Capacity），信道容量的计算方式有很多种，但是在涉及矩阵的、比较优雅的信道容量计算中，都离不开信号的协方差矩阵（covariance matrix）。

一个well-known的结论是（当然也欢迎各位自己推导一下试试看）。

很多人都知道的定理 1：在点对点单用户信道中，如果我们已知发送信号的协方差矩阵 $\mathbf{Q}=\mathbb{E}\{\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\}$ ，假设干扰加噪声协方差矩阵是单位矩阵，那么单用户的信道容量就是 $\log |\mathbf{I}+\mathbf{H}\mathbf{Q}\mathbf{H}^H|$ 。

这个结论可以扩展到多用户IC信道，此时干扰加噪声协方差矩阵（interference-plus-noise covariance matrix）就不会再成为单位矩阵，它是 $\mathbf{R}_i = \sum_{i \neq j} \mathbf{H}_{ji}\mathbf{Q}_j \mathbf{H}_{ji}^H+\mathbf{I}，$ 多用户信道容量就变成了：

$\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}|$ 。

我们考虑它更广义的形式^[1]，对于第 $i$ 个用户，加入效用因子 $\lambda_i$ 。当效用因子都是1时，就和上式等价，问题就变成了：

$\sum_{i=1}^K \lambda_i\log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}|$ ，这里我们标记为问题1。

其中，为了便于大家和传统的香农公式比较， $\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}$ 这部分可以理解为有用信号能量， $\mathbf{R}$ 是干扰信号能量。这就是在多用户IC信道中，非常非常常见的一个优化问题 Sum-Rate Optimization的目标函数。

我们要优化的目标有了，那么优化的可控自由度在哪儿体现呢？

关键依然在协方差矩阵。我们分为两种主流的优化问题来介绍：

Power Allocation问题。PA问题通常可控自由度是子载波的功率分配。因为OFDM信号存在子载波正交性，那么因此，在数学上， $\mathbf{R}_i$ 、 $\mathbf{H}_{ii}$ 和 $\mathbf{Q}_i$ 就都是典型的对角矩阵（这里可以自己推算一下）。问题1的矩阵形式（ $\max_{\mathbf{Q}_i}\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{Q}_i\mathbf{H}^H_{ii}|$ ）就可以被拆解开来，降维成其子载波所形成的正交信道容量之和。

拆解后，假如OFDM信号中共有L个子载波可用，那么问题1就可以写作 $\max_{q} \sum_{i=1}^K \sum_{l=1}^L\log_2 |1+\frac{h_{l,i}^2q^2_{l,i}}{r_{l,i}}|$ ，其中 $h_{l,i}$ 是 $\mathbf{H}_{ii}$ 的第l个对角元素,q, r 的符号标记同理。这是一个比较典型的log形式的凹问题，其中需要优化求解的变量是K+L个q因子。这个问题的正统求解方式比较简单，在一些弱约束条件下可以直接用KKT方法求得解析解。强约束条件下，需要自己寻找计算途径。

2. Beamforming/Precoding问题。Beamformer/Precoder通过修改各个天线的相位/功率分配来改变波束指向（形状)，而对于Beamformer/Precoder，通常需要一个复矩阵来描述其可控参数和波束指向角度 $\theta$ ，这里我们记为 $\mathbf{v}(\theta)$ (这里我没有标注维度，它可以使一个beamforming vector or precoding matrix，维度请自行思考，很简单）。

此时实际上，发送信号的协方差矩阵也因此发生了变化， $\mathbb{E}\{\mathbf{v}(\theta)^H\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\mathbf{v}(\theta)\}=\mathbf{v}(\theta)^H\mathbb{E}\{\mathbf{x}_k\mathbf{x}_k^H\}\mathbf{v} (\theta)=\mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta)$ 。

这里需要特别强调一下， $\mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta)$ 是一种非常重要的数学/凸优化表示形式，你们能看到的很多论文，包括大多beamforming论文，都离不开这种数学表达。实际上，为了更简单的表达，或者为了解决其他的一些细分问题， $\mathbf{v}^H(\theta)\mathbf{Q}\mathbf{v}(\theta)$ 存在很多变种。
在通信里，我们更倾向于采用Precoding定义，因为通信用户往往更倾向于获得多个互不相关数据流，而向量形式的beamformer $\mathbf{v}(\theta)\in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 仅能提供单空间流输出，主要目的是为了调整波束角度和形状，矩阵形式的precoder $\mathbf{V}\in\mathbb{C}^{M \times N}$ 可以提供多流输出。当然我这里表述并不严谨，precoder 和beamformer的区别物理意义不仅仅是这样的，感兴趣的同学可以自行查阅论文。事实上两种数学表述都有道理，向量形式的数学计算更简单一点。但这里我们为了下文表述方便，把它写成矩阵形式。

此时，问题的重心是寻找最优矩阵 $\mathbf{V}_i$ ，发送信号的协方差矩阵变成了次要因素，我们可以认为 $\mathbf{Q}_i$ 已知。更进一步，我们可以假设 $\mathbf{Q}_i$ 是一个单位矩阵。问题1就变成了：

$\max_{\mathbf{V}_i}\sum_{i=1}^K \log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_i\mathbf{H}_{ii}\mathbf{V}_i\mathbf{V}_i^H\mathbf{H}^H_{ii}|$ ,

这里其它用户所造成干扰的数学表达形式也发生了变化， $\mathbf{R}_i = \sum_{i \neq j} \mathbf{H}_{ji}\mathbf{V}_j \mathbf{V}_j^H\mathbf{H}_{ji}^H+\mathbf{I}.$ 这就是比较典型的总速率优化问题的目标函数了。这个问题的实际解法和问题1类似，因为可以通过一些数学符号代入，转换回问题1。

当然，如我们这里取消 $\mathbf{Q}_i$ 是一个单位矩阵的假设，这个问题的数学构型就发生了变化，需要更多数学变换才能求解，我这里不赘述。

3. 一些约束

凸优化算法在通信中的应用，基本是优化目标和约束条件两者一起发展。目前来看，学术领域中优化目标发展接近停滞，因为衡量系统参数的方式其实目前已经比较确定了。大多常见构型都存在套路解法，所以寻找多样的实际约束（大多是非凸的），并把这些约束数学化，relax解决这些约束，是常见的Top论文思路。

这里我们列举一些在通信领域比较常用的约束。

峰值传输功率约束（Peak Transmit Power Constraint）：这是最基本的约束，因为器件发射功率限制，所以我们需要约束峰值发射功率： $Tr(\mathbf{Q}_k)\leq P_k$ , $P_k$ 是峰值功率。
平均传输功率约束（Average transmit power constraint）^[2]：有时候，需要约束用户各个天线的平均发射功率，来优化系统能量： $\frac{1}{L}\sum_{l=1}^KTr(\mathbf{Q}_k[l])\leq P_k$ , $[l]$ 是对第l个天线的发射功率。
峰值干扰功率约束（Peak interference power constraint）^[3]：信号需要经历信道才能到达用户接收机，所以如果我们知道了干扰信道的信道矩阵，那么可以直接以接收的干扰信号能量作为约束： $\sum_{i=1}^KTr(\mathbf{H}_{ki}\mathbf{Q}_k\mathbf{V}_{ki}^H)\leq P$
用户信噪比约束^[4]：如上述，既然我们已经知道干扰信道状态，那么如果我们也知道全局所有用户的信道矩阵，我们就可以考虑采用用户的信噪比作为约束，约定用户的接收信噪比不能低于某个下限： $|\mathbf{R}^{-1}_k\mathbf{H}_{kk}\mathbf{Q}_k\mathbf{H}^H_{kk}|\geq P_k$ ,其中 $\mathbf{R}$ 遵从上文定义。
用户信道容量约束：同上，既然我们可以知道全局所有用户的信道矩阵，那么我们就能够用用户的信道容量作为约束，约定用户的信道容量不能低于某个下限， $\log |\mathbf{I}+\mathbf{R}^{-1}_k\mathbf{H}_{kk}\mathbf{Q}_k\mathbf{H}^H_{kk}| \geq P_k$ 。当然，这一条里下限需要谨慎选取，因为可能会存在和目标函数的冲突。

其它约束有很多，比如单天线功率约束^[5]...等等等等。上述约束在实际应用中的选取，也会引入一些非凸性质，需要根据实际情况自行判断。

完。

参考

^ Z.-Q. Luo and S. Zhang, “Dynamic spectrum management: complexity and duality,” IEEE J. Select. Topics Signal Processing, vol. 2, no. 1, pp. 57–73, Feb. 2008.
^ R. Zhang, “On peak versus average interference power constraints for protecting primary users in cognitive radio networks,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 8, no. 4, pp. 2112–2120, Apr. 2009.
^ S. Hayashi and Z.-Q. Luo, “Spectrum management for interference-limited multiuser communication systems,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 55, no. 3, pp. 1153–1175, Mar. 2009.
^ M. Schubert and H. Boche, “Solution of the multiuser downlink beamforming problem with individual SINR constraints,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, no. 1, pp. 18–28, Jan. 2004.
^ W. Yu and T. Lan, “Transmitter optimization for the multi-antenna downlink with per-antenna power constraints,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 55, no. 6, pp. 2646–2660, June 2007.