矩阵分解和FM

1. FM模型的引入

1.1 逻辑回归模型及其缺点

FM模型其实是一种思路，具体的应用稍少。一般来说做推荐CTR预估时最简单的思路就是将特征做线性组合（逻辑回归LR），传入sigmoid中得到一个概率值，本质上这就是一个线性模型，因为sigmoid是单调增函数不会改变里面的线性模型的CTR预测顺序，因此逻辑回归模型效果会比较差。也就是LR的缺点有：

• 是一个线性模型
• 每个特征对最终输出结果独立，需要手动特征交叉（$x_i\ast x_j$），比较麻烦

1.2 二阶交叉项的考虑及改进

由于LR模型的上述缺陷（主要是手动做特征交叉比较麻烦），干脆就考虑所有的二阶交叉项，也就是将目标函数由原来的
$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$$
变为
$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{i+1}^n{w}_{ij}{x}_i{x}_j$$
但这个式子有一个问题，只有当$x_i$与$x_j$均不为0时这个二阶交叉项才会生效，后面这个特征交叉项本质是和多项式核SVM等价的，为了解决这个问题，我们的FM登场了！
FM模型使用了如下的优化函数：
$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{i+1}^n<v_i,v_j>x_i{x}_j$$
事实上做的唯一改动就是把$w_{ij}$替换成了$<v_i,v_j>$，大家应该就看出来了，这实际上就有深度学习的意味在里面了，实质上就是给每个$x_i$计算一个embedding，然后将两个向量之间的embedding做内积得到之前所谓的$w_{ij}$好处就是这个模型泛化能力强 ，即使两个特征之前从未在训练集中同时出现，我们也不至于像之前一样训练不出$w_{ij}$，事实上只需要$x_i$和其他的$x_k$同时出现过就可以计算出$x_i$的embedding！

2. FM公式的理解

从公式来看，模型前半部分就是普通的LR线性组合，后半部分的交叉项：特征组合。首先，单从模型表达能力上来看，FM是要强于LR的，至少它不会比LR弱，当交叉项参数$w_{ij}$全为0的时候，整个模型就退化为普通的LR模型。对于有$n$个特征的模型，特征组合的参数数量共有$1+2+3+\cdots +n-1=\frac{n(n-1)}{2}$个，并且任意两个参数之间是独立的。所以说特征数量比较多的时候，特征组合之后，维度自然而然就高了。

定理：任意一个实对称矩阵（正定矩阵）$W$都存在一个矩阵$V$，使得 $W=V.V^T$成立。
类似地，所有二次项参数${\omega }_{ij}$可以组成一个对称阵$W$（为了方便说明FM的由来，对角元素可以设置为正实数），那么这个矩阵就可以分解为$W=V^{T}V$，$V$ 的第$j$列($v_j$)便是第$j$维特征($x_j$)的隐向量。
$$\hat{y}(X)={\omega }_0+\sum _{i=1}^n{\omega }_i{x}_i+\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^n<v_i,v_j>x_i{x}_j$$
需要估计的参数有${\omega }_0\in R$，${\omega }_i\in R$，$V\in R$，$<\cdot ,\cdot >$是长度为$k$的两个向量的点乘，公式如下：
$$<v_i,v_j>=\sum _{f=1}^k{v}_{i,f}\cdot v_{j,f}$$
上面的公式中：

• ${\omega }_0$为全局偏置；
• ${\omega }_i$是模型第$i$个变量的权重;
• ${\omega }_{ij}=<v_i,v_j>$特征$i$和$j$的交叉权重;
• $v_{i} $是第$i$维特征的隐向量;
• $<\cdot ,\cdot >$代表向量点积;
• $k(k<<n)$为隐向量的长度，包含 $k$ 个描述特征的因子。
  FM模型中二次项的参数数量减少为 $kn $个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 $x_h{x}_i$ 的参数和 $x_i{x}_j$ 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说，$x_h{x}_i$ 和 $x_i{x}_j$的系数分别为 $<v_h,v_i>$ 和 $<v_i,v_j>$ ，它们之间有共同项 $v_i$ 。也就是说，所有包含“ $x_i$ 的非零组合特征”（存在某个 $j\ne i$ ，使得 $x_i{x}_j\ne 0$ ）的样本都可以用来学习隐向量$v_i$，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中,$w_{hi}$ 和 $w_{ij}$ 是相互独立的。
  显而易见，FM的公式是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决regression、classification等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）loss function来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy loss来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要使用sigmoid函数进行变换，该原理与LR是一样的。直观上看，FM的复杂度是 $O(k{n}^2)$ 。但是FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 $O(kn)$ 。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。

证明：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \sum_{i=1}^{n-…
解释：

• $v_{i,f}$ 是一个具体的值；
• 第1个等号：对称矩阵 $W$ 对角线上半部分；
• 第2个等号：把向量内积 $v_i$,$v_j$ 展开成累加和的形式；
• 第3个等号：提出公共部分；
• 第4个等号： $i$ 和 $j$ 相当于是一样的，表示成平方过程。

3. FM模型的应用

最直接的想法就是直接把FM得到的结果放进sigmoid中输出一个概率值，由此做CTR预估，事实上我们也可以做召回。
由于FM模型是利用两个特征的Embedding做内积得到二阶特征交叉的权重，那么我们可以将训练好的FM特征取出离线存好，之后用来做KNN向量检索。
工业应用的具体操作步骤：

• 离线训练好FM模型（学习目标可以是CTR）
• 将训练好的FM模型Embedding取出
• 将每个uid对应的Embedding做avg pooling（平均）形成该用户最终的Embedding，item也做同样的操作
• 将所有的Embedding向量放入Faiss等
• 线上uid发出请求，取出对应的user embedding，进行检索召回

4. 代码实践

4.1 调包实现

调包版
直接看Github官方仓库：https://github.com/coreylynch/pyFM，里面有介绍如何安装以及使用，下面搬运一遍：
安装
方法一：直接pip install

pip install git+https://github.com/coreylynch/pyFM

方法二：手动安装
输入上面这行代码应能下载这个包并安装，如果安装失败可能是网络原因，这时可以考虑手动下载这个包然后手动python setup.py install安装，这时候通常会报错，去掉setup.py文件里面的libraries=[“m”]一行再重新安装即可
具体操作是：

• 在https://github.com/coreylynch/pyFM中手动下载包
• 将包解压，更改里面的setup.py文件，去掉setup.py文件里面的libraries=[“m”]一行
• cd到当前文件夹下python setup.py install
  测试
  这部分主要作为简单上手让读者了解如何使用这个包~
  第一步：导包

from pyfm import pylibfm
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
import numpy as np

第二步：创建训练集并转换成one-hot编码的特征形式

train = [
    {
    
    "user": "1", "item": "5", "age": 19},
    {
    
    "user": "2", "item": "43", "age": 33},
    {
    
    "user": "3", "item": "20", "age": 55},
    {
    
    "user": "4", "item": "10", "age": 20},
]
v = DictVectorizer()
X = v.fit_transform(train)
print(X.toarray())

看看结果，对比一下维度是否符合预期：

[[19.  0.  0.  0.  1.  1.  0.  0.  0.]
 [33.  0.  0.  1.  0.  0.  1.  0.  0.]
 [55.  0.  1.  0.  0.  0.  0.  1.  0.]
 [20.  1.  0.  0.  0.  0.  0.  0.  1.]]

第三步：创建标签
这里简单创建了一个全1的标签：

y = np.repeat(1.0,X.shape[0])
y

array([1., 1., 1., 1.])

第四步：训练并预测
就和调用sklearn的包是一样的用法：

fm = pylibfm.FM()
fm.fit(X,y)
fm.predict(v.transform({
    
    "user": "1", "item": "10", "age": 24}))

电影评分数据集实战

数据集在这里下载，数据集本地具体保存路径读者自行阅读代码找找： http://www.grouplens.org/system/files/ml-100k.zip
导包，并定义一个导入指定格式数据集的函数

import numpy as np
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from pyfm import pylibfm
# Read in data
def loadData(filename,path="ml-100k/"):
    data = []
    y = []
    users=set()
    items=set()
    
    with open(path+filename) as f:
        for line in f:
            (user,movieid,rating,ts)=line.split('\t')
            data.append({
    
     "user_id": str(user), "movie_id": str(movieid)})
            y.append(float(rating))
            users.add(user)
            items.add(movieid)
            
    return (data, np.array(y), users, items)

导入训练集和测试集，并转换格式

(train_data, y_train, train_users, train_items) = loadData("ua.base")
(test_data, y_test, test_users, test_items) = loadData("ua.test")
v = DictVectorizer()
X_train = v.fit_transform(train_data)
X_test = v.transform(test_data)

训练模型并测试

# Build and train a Factorization Machine
fm = pylibfm.FM(num_factors=10, num_iter=100, verbose=True, task="regression", initial_learning_rate=0.001, learning_rate_schedule="optimal")
fm.fit(X_train,y_train)

预测结果打印误差

preds = fm.predict(X_test)
from sklearn.metrics import mean_squared_error
print("FM MSE: %.4f" % mean_squared_error(y_test,preds))

FM MSE: 0.8873

分类任务实战

搞数据

import numpy as np
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from pyfm import pylibfm
from sklearn.datasets import make_classification

X, y = make_classification(n_samples=1000,n_features=100, n_clusters_per_class=1)
data = [ {
    
    v: k for k, v in dict(zip(i, range(len(i)))).items()}  for i in X]

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data, y, test_size=0.1, random_state=42)
v = DictVectorizer()
X_train = v.fit_transform(X_train)
X_test = v.transform(X_test)

建模型
我们可以看到主要改变的参数是num_factors和tasks，读者可以想想为什么

fm = pylibfm.FM(num_factors=50, num_iter=10, verbose=True, task="classification", initial_learning_rate=0.0001, learning_rate_schedule="optimal")
fm.fit(X_train,y_train)

由于是分类任务，误差函数肯定不一样

from sklearn.metrics import log_loss
print("Validation log loss: %.4f" % log_loss(y_test,fm.predict(X_test)))

Validation log loss: 1.3678

4.2 从零实现

数据集介绍
criteo：criteo是非常经典的点击率预估数据集，其中连续特征有13个，类别型特征有26个，没有提供特征的具体名称，特征分别如下：

dense_feats：'I1', 'I2', 'I3', 'I4', 'I5', 'I6', 'I7', 'I8', 'I9', 'I10','I11', 'I12', 'I13'
sparse_feats:  'C1', 'C2', 'C3', 'C4', 'C5', 'C6', 'C7', 'C8', 'C9', 'C10', 'C11', 'C12', 'C13', 'C14', 'C15', 'C16', 'C17', 'C18', 'C19', 'C20', 'C21', 'C22', 'C23', 'C24', 'C25', 'C26'

代码参考源代码文档中的FM.py

5. 课后思考

请大家思考一下FM存在的问题， 以及可以从哪些地方再进行改进？

参考资料

• FM算法解析
• 推荐系统遇上深度学习(一)–FM模型理论和实践
• FM论文原文
• FM算法原理分析与实践
• AI上推荐 之 FM和FFM
• https://github.com/datawhalechina