C语言实现雅克比迭代法求根

C语言实现雅克比迭代法求根

问题描述

设方程组$Ax=b$的系数矩阵$A$非奇异 ，且$a_{ii}\ne 0$将$A$分裂为：$$A=D+L+U$$
$D=diag(a_{11},a_{22},\cdots a_{nn})$, $L$和$U$分别是将$A$对角元素置为$0$的下三角和上三角矩阵，进行一系列转化形成迭代格式可求解方程组。

算法思想

将方程组
$$\sum _{i=1}^{i=n}{a}_{ij}{x}_i=b_i,i=1,2...,n$$
乘以$\frac{1}{a_{ii}}$，得到等价方程组
$$x_i=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{i=1}^{i=n}{b}_i-a_{ij}{x}_i)$$
简记为$x=Bx+f$.
其中，$B=I-D^{-1}=-D^{-1}(L+U),f=D^{-1}b$
我们称 $\phi (x)=Bx+f$为迭代函数，任取初始向量 $x=x^{(0)}$，按照 $x^{(k+1)}=B{x}^{(k)}+f$形成的迭代格式，称这种迭代格式为雅克比迭代法。

C语言程序

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<math.h>
#define MaxSize 100
double A[MaxSize][MaxSize];
double B[MaxSize];
double C[MaxSize][MaxSize];
double D[MaxSize][MaxSize];//储存D逆
double E[MaxSize][MaxSize];//储存-(D-1)*(L+U)
double F[MaxSize];//(D-1)*B
double X[MaxSize];
double X1[MaxSize];
double Y[MaxSize];
#define e 1e-6//10的负6次方
int n;//矩阵尺寸大小
//所有迭代格式X(k+1)=B*X(k)+F,B范数<1,必收敛，B范数>1,未必发散
//雅克比迭代只适用于A[i][i]非0
void InitMatrix()
{
    
    
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++)
     for(j=0;j<n;j++)
     {
    
    
        if(i==j)
        {
    
    
            D[i][j]=1/A[i][i];
            E[i][j]=0;
        }
        if(i<j)
            E[i][j]=A[i][j];
        if(i>j)
            E[i][j]=A[i][j];
     }

}

void Jacobi()
{
    
    
    int i,j,k,r;
    double sum1,sum2,sum4=0;
    for(i=0;i<n;i++)
     for(j=0;j<n;j++)
     {
    
    
        sum1=0;
       for(k=0;k<n;k++)//矩阵运算
       {
    
    
        sum1=sum1+D[i][k]*E[k][j];
       }
       E[i][j]=-sum1;//(D-1)*(L+U)
     }
     //求E的F范数，判断是否收敛
     //E的F范数>1,不一定发散;但是E的F范数<1,一定收敛
     for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
         sum4=sum4+pow(E[i][j],2);
     if(sqrt(sum4)<1)
        printf("/*****B矩阵F范数<1，必有数值解！*****/\n");
     else
     printf("/*****B矩阵F范数>1，不一定有数值解！*****/\n");
     for(i=0;i<n;i++)
      {
    
    
          sum2=0;
          for(k=0;k<n;k++)
          {
    
    
              sum2=sum2+D[i][k]*B[k];
          }
          F[i]=sum2;//(D-1)*B
      }
    //X迭代
    for(r=1;r<100;r++)
    {
    
    
        int flag=0;
        double sum3;
        for(i=0;i<n;i++)
            X1[i]=X[i];//储存上一次迭代运算结果,必须在此处储存
        for(i=0;i<n;i++)
        {
    
    
        sum3=0;
        for(k=0;k<n;k++)
        {
    
    
         sum3=sum3+E[i][k]*X1[k];
        }
        X[i]=F[i]+sum3;//更新X[i]
        }
      for(j=0;j<n;j++)
          if(fabs(X[j]-X1[j])<e)//abs整型求绝对值,fabs浮点型求绝对值
            flag++;
     if(flag==n)
     {
    
    
        printf("迭代第%d次满足精度！\n",r);
        break;
     }
      printf("第%d次迭代向量X：\n",r);
     for(i=0;i<n;i++)
        printf("%lf\n",X[i]);
    }

}



void input()
{
    
    
    int i,j;
    printf("请输入系数矩阵A：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        scanf("%lf",&A[i][j]);
    printf("请输入向量B：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&B[i]);
    printf("请输入初始向量X：\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%lf",&X[i]);
}
void print()
{
    
    
  int i,j;
  printf("方程组的近似解：\n");
  for(i=0;i<n;i++)
    printf("%lf\n",X[i]);
}



int main()
{
    
    
    void InitMatrix();
    void Jacobi();
    void input();
    void print();
    printf("请输入矩阵行数：\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("\n");
    input();
    InitMatrix();
    Jacobi();
    print();
    return 0;
}

实验结果

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_3=1\\ x_1+x_2+x_3=3\\ 2x_1+2x_2+x_3=5\end{array}$$
初始向量为：$x^{(0)}=(0,0,0{)}^T$