欠定的三元一次方程组求解

欠定的三元一次方程组求解

方程组如下：
$$f(n)=\{\begin{array}{l}{a}_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=0,\\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=0.\end{array}$$
该方程组的解为：
$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{13}{a}_{22}-a_{23}{a}_{12}\\ a_{11}{a}_{23}-a_{21}{a}_{13}\\ a_{12}{a}_{21}-a_{22}{a}_{11}\end{array}\right)$$

       
       
求解方法：
       
       将两个方程看成平面方程，分别称为$S_1,S_2$, 则方程的系数可以分别看成平面$S_1,S_2$的法向量。即
$$\begin{gathered} S_1的法向量：(a_{11},a_{12},a_{13}) \\ {S}_2的法向量：(a_{21},a_{22},a_{23}) \end{gathered}$$
       求解这个方程组可以看成求解两个平面的交线，而求解的这个交线正好与$S_1,S_2$构成的平面的法向量平行，即只需算$S_1,S_2$的向量积（外积）即可。而$S_1,S_2$的外积：
$$S_1\times S_2=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{13}{a}_{22}-a_{23}{a}_{12},& a_{11}{a}_{23}-a_{21}{a}_{13},& a_{12}{a}_{21}-a_{22}{a}_{11}\end{array}\right)$$
证毕。

       
       
       
       
写这个东西来源于看的第二篇论文 《Developable Bezier patches: properties and design》中的一个三元一次方程组求解

一开始怎么也想不起来怎么取出来的第一个自由未知量，后来请教同学，发现从另一个角度去分析，还挺好去解这个方程组的。（不过在想出来这个问题之前，总感觉这个解很熟悉，好像在哪见过，如果有人想到了麻烦告知我一下）