【OpenCV学习笔记】6.边缘检测

• 图像的边缘指的是灰度发生急剧变化的位置。边缘检测的目的是制作一个线图，在不损害理解图像内容的情况下，同时大大减少图像数据量，提供对图像数据的合适概述。
• 边缘检测大多是通过基于方向导数掩码（梯度方向导数）求卷积的方法。

1.Roberts算子

• Roberts边缘检测是图像矩阵与以下两个卷积核分别做卷积：
  $Robert{s}_{135}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),Robert{s}_{45}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$
• 与Roberts核卷积，本质上是两个对角方向上的差分。对Roberts算子进行改进，如下反映的是垂直方向和水平方向上的边缘：
  $Robert{s}_x=\left(\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right),Robert{s}_y=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$
• 大多数边缘检测算子时基于方向差分卷积核求卷积的方法，在使用由多个卷积核组成的边缘检测算子时，假设有n个卷积核，记$co{v}_1、co{v}_2、\dots 、co{v}_n$为图像分别与各卷积核做卷积后的结果，通常有四种方式衡量最后输出的边缘强度。
  （1）取对应位置绝对值的和：${\sum }_{i=1}^n|co{v}_i|$。
  （2）取对应位置平方和的开方：$\sqrt{{\sum }_{i=1}^{n}co{v}_i^2}$。
  （3）取对应位置绝对值得最大值： m a x { ∣ c o v 1 ∣ , ∣ c o v 2 ∣ , … , ∣ c o v n ∣ } max\{|cov_1|,|cov_2|,…,|cov_n|\} max{ ∣cov1​∣,∣cov2​∣,…,∣covn​∣}。
  （4）插值法：${\sum }_{i=1}^n{a}_i|co{v}_i|$，其中$a_i\ge 0$，且${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$。
  其中，取绝对值的最大值的方式对边缘的走向有些敏感，其他几种方式可以获得性能更一致的全方位响应。取平方和开方效果一般最好，但更加耗时。

void roberts(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int x = 1, int y = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT)
{
    
    
	CV_Assert(!(x == 0 & y == 0));
	Mat roberts_1 = (Mat_<float>(2, 2) << 1, 0, 0, -1);
	Mat roberts_2 = (Mat_<float>(2, 2) << 0, 1, -1, 0);
	//当x不等于0，src和roberts_1卷积
	if (x != 0 && y == 0)
		conv2D(src, roberts_1, dst, ddepth, Point(0, 0), borderType); 
	if (y != 0 && x == 0)
		conv2D(src, roberts_2, dst, ddepth, Point(0, 0), borderType);
}

void conv2D(InputArray src, InputArray kernel, OutputArray dst, int ddepth,
	Point anchor = Point(-1, -1), int borderType = BORDER_DEFAULT)//卷积运算
{
    
    
	//卷积运算第一步：卷积核逆时针翻转180°
	Mat kernelFlip;
	flip(kernel, kernelFlip, -1);
	//卷积运算第二步
	filter2D(src, dst, ddepth, kernelFlip, anchor, 0.0, borderType);
}

2.Prewitt边缘检测

• 标准的Prewitt边缘检测算子由以下两个卷积核组成：
  $prewit{t}_x=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& 0& -1\end{array}\right),prewit{t}_y=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& -1& -1\end{array}\right)$
• 图像与$prewit{t}_x$卷积后可以反映图像垂直方向的边缘，与$prewit{t}_y$卷积后可以反映图像水平方向的边缘。这两个卷积核可分离：
  $prewit{t}_x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\star \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\end{array}\right)$ ,
  $prewit{t}_y=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right)\star \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$
• 由于对图像进行了平滑处理，所以对噪声较多的图像进行Prewitt边缘检测得到的边缘比Roberts要好。可以对标准的Prewitt算子改进，比如：
  $prewit{t}_{135}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ 0& -1& -1\end{array}\right),prewit{t}_{45}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ -1& 0& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

void prewitt(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int x = 1, int y = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT)
{
    
    
	CV_Assert(!(x == 0 & y == 0));
	//当x不等于0，src和prewitt_x卷积
	if (x != 0 && y == 0)
	{
    
    
		Mat prewitt_x_y = (Mat_<float>(3, 1) << 1, 1, 1);
		Mat prewitt_x_x = (Mat_<float>(1, 3) << 1, 0, -1);
		sepConv2D_X_Y(src, dst, ddepth, prewitt_x_x, prewitt_x_y, Point(-1, -1), borderType);
	}
	//当x等于0且y不等于0，src和prewitt_y卷积
	if (y != 0 && x == 0)
	{
    
    
		Mat prewitt_y_x = (Mat_<float>(1, 3) << 1, 1, 1);
		Mat prewitt_y_y = (Mat_<float>(3, 1) << 1, 0, -1);
		sepConv2D_X_Y(src, dst, ddepth, prewitt_y_x, prewitt_y_y, Point(-1, -1), borderType);
	}
}

void sepConv2D_X_Y(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, InputArray kernelX, InputArray kernelY,
	Point anchor = Point(-1, -1), int borderType = BORDER_DEFAULT)//可分离的离散二维卷积
{
    
    
	//输入矩阵与水平方向卷积核的卷积
	Mat src_kerX;
	conv2D(src, kernelX, src_kerX, ddepth);
	//上面结果与垂直方向卷积核的卷积
	conv2D(src_kerX, kernelY, dst, ddepth);
}

3.Sobel边缘检测

• 将高斯卷积算子的二项式近似展开的系数，可以作为非归一化的高斯平滑算子，利用$n=2$时展开项的系数，把Prewitt算子的非归一化的均值平滑算子换成该系数，即得三阶Sobel边缘检测算子：
  $sobe{l}_x=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)\star \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 0& -2\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$ ,
  $sobe{l}_y=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\end{array}\right)\star \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\right)$

void Sobel(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int dx, int dy, int ksize=3, 
           double scale=1, double selta=0, int borderType=BORDER_DEFAULT)
//src-输入矩阵
//dst-输出矩阵
//ddepth-输出矩阵数据类型
//dx-不等于0时，src与差分方向为水平方向上的Sobel核卷积
//dy-dx为0、dy不为0时，src与差分方向为垂直方向上的Sobel核卷积
//ksize-sobel核的尺寸，值为1，3，5，7
//scale-比例系数
//delta-平移系数
//borderType-边界扩充类型

4.Scharr算子

• 标准Scharr边缘检测算子与Prewitt边缘检测算子和Sobel边缘检测算子类似：
  $schar{r}_x=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -3\\ 10& 0& -10\\ 3& 0& -3\end{array}\right),schar{r}_y=\left(\begin{array}{ccc}3& 10& 3\\ 0& 0& 0\\ -3& -10& -3\end{array}\right)$
  拓展到其他方向：
  $prewit{t}_{135}=\left(\begin{array}{ccc}10& 3& 0\\ 3& 0& -3\\ 0& -3& -10\end{array}\right),prewit{t}_{45}=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 10\\ -3& 0& 3\\ -10& -3& 0\end{array}\right)$

void Scharr(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int dx, int dy, 
           double scale=1, double selta=0, int borderType=BORDER_DEFAULT)
//src-输入矩阵
//dst-输出矩阵
//ddepth-输出矩阵数据类型
//dx-不等于0时，src与差分方向为水平方向上的Sobel核卷积
//dy-dx为0、dy不为0时，src与差分方向为垂直方向上的Sobel核卷积
//scale-比例系数
//delta-平移系数
//borderType-边界扩充类型

5.Kirsch算子和Robinson算子

• Kirsch算子由以下八个卷积核组成：
  $k_1=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& 5\\ -3& 0& -3\\ -3& -3& -3\end{array}\right)k_2=\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& -3\\ -3& 0& -3\\ 5& 5& 5\end{array}\right)k_3=\left(\begin{array}{ccc}-3& 5& 5\\ -3& 0& 5\\ -3& -3& -3\end{array}\right)k_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& -3\\ 5& 0& -3\\ 5& 5& -3\end{array}\right)$
  $k_5=\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& 5\\ -3& 0& 5\\ -3& -3& 5\end{array}\right)k_6=\left(\begin{array}{ccc}5& -3& -3\\ 5& 0& -3\\ 5& -3& -3\end{array}\right)k_7=\left(\begin{array}{ccc}-3& -3& -3\\ -3& 0& 5\\ -3& 5& 5\end{array}\right)k_8=\left(\begin{array}{ccc}5& 5& -3\\ 5& 0& -3\\ -3& -3& -3\end{array}\right)$
  图像与每一个核进行卷积，然后取绝对值作为对应方向上的边缘强度的量化。对8个卷积结果取绝对值，然后在对应值位置取最大值作为最后输出的边缘强度。
• Robinson算子由以下八个卷积核组成：
  $r_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& 1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)r_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -1& -2& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)r_3=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ -1& -2& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)r_4=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -2& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$
  $r_5=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ 1& -2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)r_6=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 1& -2& -1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)r_7=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -2& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)r_8=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& -1\\ 1& -1& -1\end{array}\right)$

6.Canny边缘检测

• 基于卷积运算的边缘检测算法，比如Sobel、Prewitt等，有如下两个缺点：
  （1）没有充分利用梯度的边缘方向。
  （2）最后输出的边缘二值图，阈值处理过于简单。
• Canny边缘检测基于这两点做了改进：
  （1）基于边缘梯度方向的非极大值抑制。
  （2）双阈值的滞后阈值处理。

void Canny(InputArray image, OutputArray edges, double threshold, double threshold2, int apertureSize=3, bool L2gradient=false)
//apertureSize-Sobel核的窗口大小
//L2gradient-true代表使用平方和开方，false代表绝对值

7.Laplacian算子

• 二维函数$f(x,y)$的Laplacian变换，由以下计算公式定义：
  ${▽}^{2}f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}f(x,y)}{{\partial }^{2}y}$
  $\approx \frac{\partial (f(x+1,y)-f(x,y))}{\partial x}+\frac{\partial (f(x,y+1)-f(x,y))}{\partial y}$
  $\approx f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)$

• 将其推广到离散的二维数组，即矩阵的拉普拉斯变换是矩阵与拉普拉斯核的卷积：
  $l_0=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)$或$l_{0^{-}}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& -4& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

• 此外，拉普拉斯算子还有其它形式：
  $l_1=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right)l_2=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 2\\ -1& -4& -1\\ 2& -1& 2\end{array}\right)l_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 0\\ 2& -8& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right)l_4=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& -8& 0\\ 2& 0& 2\end{array}\right)$

• 拉普拉斯核内所有值的和必须等于0，拉普拉斯算子均是不可分离的。

void Laplacian(InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, int ksize=1, 
           double scale=1, double selta=0, int borderType=BORDER_DEFAULT)
//src-输入矩阵
//dst-输出矩阵
//ddepth-输出矩阵数据类型
//ksize-拉普拉斯核的类型，1对应l0-，3对应l4
//scale-比例系数
//delta-平移系数
//borderType-边界扩充类型

8.高斯拉普拉斯（LoG）边缘检测

• 拉普拉斯边缘检测算子没有对图像做平滑处理，会对噪声产生明显响应。因此可以利用二维高斯函数$gauss(x,y,\sigma )=\frac{1}{2\pi \sigma }exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})$的拉普拉斯变换：
  ${▽}^2(gauss(x,y,\sigma ))=\frac{{\partial }^2(gauss(x,y,\sigma ))}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^2(gauss(x,y,\sigma ))}{{\partial }^{2}y}$
  $=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\frac{\partial (-\frac{x}{{\sigma }^2}exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}))}{\partial x}+\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\frac{\partial (-\frac{y}{{\sigma }^2}exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}))}{\partial y}$
  $=\frac{1}{2\pi {\sigma }^4}(\frac{x^2}{{\sigma }^2}-1)exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})+\frac{1}{2\pi {\sigma }^4}(\frac{y^2}{{\sigma }^2}-1)exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})$
  $=\frac{1}{2\pi {\sigma }^4}(\frac{x^2+y^2}{{\sigma }^2}-2)exp(-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2})$
• 高斯拉普拉斯边缘检测具体步骤如下：
  第一步：构建窗口大小围$H\times W$、标准差为$\sigma$的LoG卷积核。
  $Lo{G}_{H\times W}=[{▽}^{2}gauss(w-\frac{W-1}{2},h-\frac{H-1}{2},\sigma {]}_{0\le h\le H,0\le w\le W}$
  其中$H$、$W$均为奇数，且$H=W$，锚点位置$(\frac{H-1}{2},\frac{W-1}{2})$。
  第二步：图像矩阵与$Lo{G}_{H\times W}$核卷积，结果记为I_Cov_LoG。
  第三步：边缘二值化显示。
• 对于高斯拉普拉斯核的尺寸，一般取$(6\ast \sigma +1)\times (6\ast \sigma +1)$。标准差越大，边缘尺度越大，会失去更多图像边缘细节。

9.高斯差分（DoG）边缘检测

10.Marr-Hildreth边缘检测

• Marr-Hildreth边缘检测方法相对于高斯差分和高斯拉普拉斯边缘检测，细化了最后的阈值处理过程，可以获得更加详细的边缘信息。
  第一步：构建窗口大小围$H\times W$的高斯拉普拉斯核或者高斯差分卷积核。
  第二步：图像矩阵与$Lo{G}_{H\times W}$核或者$Do{G}_{H\times W}$卷积。
  第三步：寻找过零点位置，即为边缘位置。
• 过零点：$f(x)$突变，$f^{{}^{\prime }}(x)$最大值，$f^{{}^{\prime \prime }}(x)$为0。