[2020牛客算法竞赛入门课第九节习题] 小阳的贝壳 线段树好题

题目链接：小阳的贝壳

题意

给你一个长度为n的数列，你能进行三个操作：

1. 给区间[l,r]所有的值加上x
2. 询问区间[l,r]内相邻两个数差值绝对值的最大值
3. 询问[l,r]内所有数的最大公约数

题解

首先如果直接维护的话，步骤2和3很好实现，但是如果给区间增加一个数值，面对步骤3，我们很难在原有基础上改变，只能重新算，这样的时间复杂度和暴力无异。所以需要另辟蹊径。

倘若我们维护一个差分数列，情况就变得简单了许多。
设原数列：$a_1,a_2,...,a_n$
那么差分数列为：
$a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,.....,a_n-a_{n-1}$
$d_1,d_2,d_3,.....,d_n$
步骤1：影响的也只有$d_l和d_{r+1}$，点修改即可
步骤2：维护一个区间最大值，然后查询区间[l+1,r]里的最大值。
步骤3：
易知$gcd(a_l,a_{l+1},.....,a_r)=gcd(a_l,\mid a_{l+1}-a_l\mid ,\mid a_{l+2}-a_{l+1}\mid ,....,\mid a_r-a_{r-1}\mid )$

⇒ $gcd(a_l,\mid d_{l+1}\mid ,\mid d_{l+2}\mid ,....,\mid d_r\mid )$

⇒ $gcd({\sum }_{i=1}^l{d}_i,\mid d_{l+1}\mid ,\mid d_{l+2}\mid ,....,\mid d_r\mid )$
由上可知，我们再维护一个区间和和区间内的最大公约数即可。
综上所述，我们只需维护一个区间$d_i$和、区间$\mid d_i\mid$最大值和区间$\mid d_i\mid$最大公约数

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<deque>
#include<iomanip>
#include<list>
#include<map>
#include<queue>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
//extern "C"{void *__dso_handle=0;}
typedef long long ll;
typedef long double ld;

#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x&-x

const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const ll mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+10;
const int maxm=100+10;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

int col[maxn],d[maxn];
struct Tree
{
    
    
	int summ,maxx,gcdd;
	void init(int summ,int maxx,int gcdd)
	{
    
    
		this->summ = summ;
		this->maxx = maxx;
		this->gcdd = gcdd;
	}
}tree[maxn<<2];

int gcd(int a,int b) {
    
     return b==0 ?a:gcd(b,a%b); }

void pushup(int p)
{
    
    
	tree[p].summ = tree[p*2].summ + tree[p*2+1].summ;
	tree[p].maxx = max(tree[p*2].maxx, tree[p*2+1].maxx);
	tree[p].gcdd = gcd(tree[p*2].gcdd, tree[p*2+1].gcdd);
}
void build(int p,int l,int r)
{
    
    
	if(l==r) {
    
     tree[p].summ=d[l]; tree[p].maxx=abs(d[l]); tree[p].gcdd=abs(d[l]); return ;}
	int mid=l+(r-l)/2;
	build(p*2, l, mid);
	build(p*2+1, mid+1, r);
	pushup(p);
}

void add(int p,int l,int r,int pos,int v)
{
    
    
	if(l==r) {
    
     tree[p].summ+=v, tree[p].maxx=abs(tree[p].summ), tree[p].gcdd=abs(tree[p].summ); return ;}
	int mid=l+(r-l)/2;
	if(pos<=mid) add(p*2, l, mid, pos, v);
	if(pos>mid) add(p*2+1, mid+1, r, pos, v);
	pushup(p);
}

int query_gcd(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
    
    
	if(ql<=l && qr>=r) return tree[p].gcdd;
	int mid=l+(r-l)/2;
	int ans=0;
	if(ql<=mid) ans = gcd(ans,query_gcd(p*2,l,mid,ql,qr));
	if(qr>mid) ans =  gcd(ans,query_gcd(p*2+1,mid+1,r,ql,qr));
	return ans;
}

int query_sum(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
    
    
	if(ql<=l && qr>=r) return tree[p].summ;
	int mid=l+(r-l)/2;
	int ans=0;
	if(ql<=mid) ans += query_sum(p*2,l,mid,ql,qr);
	if(qr>mid) ans += query_sum(p*2+1,mid+1,r,ql,qr);
	return ans;
}

int query_max(int p,int l,int r,int ql,int qr)
{
    
    
	if(ql<=l && qr>=r) return tree[p].maxx;
	int mid=l+(r-l)/2;
	int ans=0;
	if(qr>mid) ans = max(ans,query_max(p*2+1,mid+1,r,ql,qr));
	if(ql<=mid) ans =  max(ans,query_max(p*2,l,mid,ql,qr));
	return ans;
}
int main()
{
    
    
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
    
    
		scanf("%d",&col[i]);
		d[i]=col[i]-col[i-1];
	}
	build(1, 1, n);
	while(m--)
	{
    
    
		int op; scanf("%d",&op);
		if(op==1)
		{
    
    
			int l,r,v; scanf("%d%d%d",&l,&r,&v);
			add(1, 1, n, l, v);
			if(r<n) add(1, 1, n, r+1, -v); //注意这里可能r+1>n所以必须特判
		}
		else if(op==2)
		{
    
    
			int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",query_max(1, 1, n, l+1, r));
		}
		else
		{
    
    
			int l,r; scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",gcd(query_sum(1, 1, n, 1, l),query_gcd(1, 1, n, l+1, r)));
		}
	}
}