小阳的贝壳(数论，线段树)

小阳的贝壳

题意：给出一个数组$a$，$n$个数，$m$次询问。有$3$种询问，$1,l,r,x;2,l,r;3,l,r$。
$1,l,r,x$：对区间$[l,r]$中的每个数加上$x$。
$2,l,r$：询问$[l,r]$区间里所有相邻数字的差（取绝对值） 的最大值。
$3,l,r$：询问$[l,r]$区间的所有数的最大公约数。

思路：用线段树维护数组$a$的差分数组$c(c[i]=a[i]-a[i-1])$。包括区间最大值，区间$gcd(最大公约数)$，和区间和。

结论：$$gcd(a_1,a_2,a_3)=gcd(a_1,a_2,a_3)$$$$推广到a_n有gcd(a_1,a_2...,a_n)=gcd(a_1,a_2-a1...,a_n-a_{n-1})$$$$gcd(a1,a2...,an)=gcd(gcd(a1,a2..a_{\frac{n}{2}}),gcd(a_{\frac{n}{2}+1},a_{\frac{n}{2}+2}...,a_n))$$所以可以直接用线段树维护差分数组$c$来求区间$gcd$。

注意点：

1. 对区间$[l,r]$加上$x$时，$c[l]+=x,c[r+1]-=x(差分数组的性质)$,要特判$r+1<=n。$
2. 当查询为$2,l,r$时，我们得查询区间$[l+1,r]$

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5;
int a[N], mx[N<<2], sum[N<<2], G[N<<2];
//分别为a数组；线段树维护的最大值数组，和数组，gcd数组。
//向上传递函数
void pushup(int num) {
    
    
    mx[num] = max(mx[num<<1], mx[num<<1|1]);
    G[num] = __gcd(G[num<<1], G[num<<1|1]);
    sum[num] = sum[num<<1|1] + sum[num<<1];
}
//构建线段树
void build(int l, int r, int num) {
    
    
    if(l == r) mx[num] = G[num] = abs(a[l]), sum[num] = a[l];
    else {
    
    
        int mid = l + r >> 1;
        build(l, mid, num<<1);
        build(mid+1, r, num<<1|1);
        pushup(num);
    }
}
//在区间[l,r]加上val。
void updata(int l, int r, int num, int pos, int val) {
    
    
    if(l == r) {
    
    
        a[l] += val;
        sum[num] = a[l];
        mx[num] = G[num] = abs(a[l]);
    }
    else {
    
    
        int mid = l + r >> 1;
        if(pos <= mid) updata(l, mid, num<<1, pos, val);
        else updata(mid+1, r, num<<1|1, pos, val);
        pushup(num);
    }
}
//查询和（a[en]）
int query_sum(int l, int r, int st, int en, int num) {
    
    
    int mid = l + r >> 1;
    if(st <= l && r <= en) return sum[num];
    else if(en <= mid) return query_sum(l, mid, st, en, num<<1);
    else if(st > mid) return query_sum(mid+1, r, st, en, num<<1|1);
    else return query_sum(l, mid, st, en, num<<1) + query_sum(mid+1, r, st, en, num<<1|1);
}
//查询gcd
int query_G(int l, int r, int st, int en, int num) {
    
    
    int mid = l + r >> 1;
    if(st <= l && r <= en) return G[num];
    else if(en <= mid) return query_G(l, mid, st, en, num<<1);
    else if(st > mid) return query_G(mid+1, r, st, en, num<<1|1);
    else return __gcd(query_G(l, mid, st, en, num<<1), query_G(mid+1, r, st, en, num<<1|1));
}
//查询最大值
int query_mx(int l, int r, int st, int en, int num) {
    
    
    int mid = l + r >> 1;
    if(st <= l && r <= en) return mx[num];
    else if(en <= mid) return query_mx(l, mid, st, en, num<<1);
    else if(st > mid) return query_mx(mid+1, r, st, en, num<<1|1);
    else return max(query_mx(l, mid, st, en, num<<1), query_mx(mid+1, r, st, en, num<<1|1));
}
int main() {
    
    
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    int n, m, f, l, r, x;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i=n; i; i--) a[i] -= a[i-1];
    build(1, n, 1);
    for(int i=1; i<=m; i++) {
    
    
        scanf("%d%d%d", &f, &l, &r);
        if(f == 1) {
    
    
            scanf("%d", &x);
            updata(1, n, 1, l, x);
            if(r < n) updata(1, n, 1, r+1, -x);//注意点1.
        }
        else if(f == 2)    {
    
    
            if(l == r) printf("0\n");
            else printf("%d\n", query_mx(1, n, l+1, r, 1));//注意点2.
        }
        else {
    
    
            int t = query_sum(1, n, 1, l, 1);
            if(l == r) printf("%d\n", t);
            else printf("%d\n", __gcd(t, query_G(1, n, l+1, r, 1)));
        }
    }
    return 0;
}