14行代码AC_SCU 4440 Rectangle(公式+矩阵对称性)

励志用少的代码做高效表达

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Problem Describe

frog has a piece of paper divided into (n) rows and (m) columns. Today, she would like to draw a rectangle whose perimeter is not greater than (k).
There are 8 (out of 9) ways when n = m = 2, k = 6
There are (8) (out of (9)) ways when (n = m = 2, k = 6)
Find the number of ways of drawing.

Input

The input consists of multiple tests. For each test:
The first line contains 3 integer n,m,k (1≤n,m≤5⋅10e4,0≤k≤1e9).

Output

For each test, write 1 integer which denotes the number of ways of drawing.

Sample Input

2 2 6
1 1 0
50000 50000 1000000000

Sample Output

8
0
1562562500625000000

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题目(提交)网址——>传送门

题意

给定长度，求在不大于这个长度下，有多少个矩形(矩形周长不大于给定长度)。

心路历程

起初看到这道题，想都没想，数…….找规律
结果找了2个小时规律
愣是没找出来
问了问同学，同学说是暴力
我*

SB的我竟然还想用公式，难怪推不出来
暴力的话，这道题就简单明了了
主要是用到了矩形的对称性
以及以下这个性质
在长为n，宽为m的矩形上，长为i，宽为j的矩阵个数为

$$(n-i+1)\ast (m-j+1)$$

首先考虑n，在一个长为n的矩形中，从1~i,2~i+1,3~i+2,n-i+1~n; 分别为长为i的矩形；

同理考虑m，宽为j的矩形，1~j,2~j+1,3~j+2,m-j+1~m;

这样的话，在1~j下就有n-i+1个矩形

所以总共就是：(n-i+1)x(m-j+1)

那么这道题的答案就出来了

记num=k/2-i (num>0)，k为周长  i为长  num为宽

当num<=m时，num可以取1,2,3,…,num

所以答案为：ans=(n-i+1)x(m-1+1)+(n-i+1)x(m-2+1)+…+(n-i+1)*(m-num+1);

提取(n-i+1),就是一个等差数列得：ans+=(n-i+1)x(2m-num+1)num/2;

当num>m时，num替换为m，得：ans+=(n-i+1)x(m+1)m/2;

#include<cstdio>
#define ll long long
ll n,m,k,ans,num;
int main() {
    
    
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k)) {
    
    
    	ans=0;
    	for(int i=1;i<=n;i++) {
    
    
      		num=k/2-i;
      		if(num<=m&&num>0)ans+=(n-i+1)*(2*m-num+1)*num/2;
      		else if(num>0)ans+=(n-i+1)*(1+m)*m/2;
    	}
    	printf("%lld\n",ans);
  	}
return 0;}