火车进栈问题（如何快速计算单个组合数）

题目

题目

思路

这道题目思路不难，就是卡塔兰数，但是关键是要压位高精，而且如何快速计算组合数，这里把公式说一下：$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$。

也就是：$\frac{(2n)!}{n!\ast n!\ast (n+1)}$，较快的方法就是用https://www.acwing.com/problem/content/199/的方法分解阶乘，然后减去指数，再快速幂回来，但是为什么要快速幂呢？这不是高精度乘高精度吗，我们一位一位单精度乘高精度他不香吗。

但是据大佬所说以及自己感觉，快速幂是比单个单个乘要高的。

然后就可以卡过去了。

代码

时间复杂度应该是：$O(n^2)$的吧，我不知道（这个神奇做法的时间复杂度怎么算啊QAQ），但是可以过，因为常数小，跑不满。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define  N  121000
using  namespace  std;
typedef  long  long  LL;
LL  fre=10000000;int  res=7;
struct  node
{
    
    
	LL  a[6100];int  len;
}an;
node  operator*(node  x,node  y)
{
    
    
	node  c;memset(c.a,0,sizeof(c.a));c.len=x.len+y.len-1;
	for(int  i=1;i<=x.len;i++)
	{
    
    
		for(int  j=1;j<=y.len;j++)c.a[i+j-1]+=x.a[i]*y.a[j];
	}
	for(int  i=1;i<=c.len;i++)
	{
    
    
		c.a[i+1]+=c.a[i]/fre;
		c.a[i]%=fre;
	}
	while(c.a[c.len+1])
	{
    
    
		c.len++;
		c.a[c.len+1]+=c.a[c.len]/fre;
		c.a[c.len]%=fre;
	}
	return  c;
}

node  ksm(int  xx,int  y)
{
    
    
	node  x;memset(x.a,0,sizeof(x.a));x.len=1;x.a[1]=xx;
	node  ans;memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));ans.len=ans.a[1]=1;
	while(y)
	{
    
    
		if(y&1)ans=ans*x;
		x=x*x;y>>=1;
	}
	return  ans;
}
int  n,a[N],b[N],m;
bool  v[N];

int  solve(int  x,int  y)
{
    
    
	int  ans=0,now=y;
	while(now)ans+=now/x,now=now/x;
	return  ans;
}
int  main()
{
    
    
	scanf("%d",&n);
	int  now=n+1,ed=2*n;
	for(int  i=2;i<=ed;i++)
	{
    
    
		if(!v[i])
		{
    
    
			a[++m]=i;
			b[m]=solve(i,2*n)-2*solve(i,n);
			while(now%i==0  &&  now)b[m]--,now/=i;
		}
		for(int  j=1;j<=m  &&  i*a[j]<=ed;j++)
		{
    
    
			v[i*a[j]]=1;
			if(i%a[j]==0)break;
		}
	}
	an.a[1]=an.len=1;
	for(int  i=1;i<=m;i++)an=an*ksm(a[i],b[i]);
	printf("%lld",an.a[an.len]);
	for(int  i=an.len-1;i>=1;i--)
	{
    
    
		LL  now=fre/10;
		while(!(an.a[i]/now)  &&  now>=10)//处理前缀0 
		{
    
    
			printf("0");
			now/=10;
		}
		printf("%lld",an.a[i]);
	}
	printf("\n");
	return  0;
}