CodeForces - 1409F Subsequences of Length Two(dp)

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题目大意：给出一个字符串 s ，再给出一个长度为 2 的字符串 t ，最多可以进行 m 次操作，每次操作可以选择 s 中的一个字符修改为其他任意一个字符，问如何操作可以使得 t 作为子序列在 s 中的出现次数最多

题目分析：参考博客：https://www.cnblogs.com/qieqiemin/p/13619477.html

首先分析时间复杂度是 n^3 ，因为是有限制且无后效性的最优解问题，考虑 dp ，dp[ i ][ j ][ k ] 代表的是到了第 i 个位置时，用了 j 次操作，前面有 k 个 t[ 1 ] 时的最优解

考虑转移，显然对于 s 中的任意一个字符，要么不变，要么就是变为 t 中的字符是最优的，那么借助三个变量进行转移：

1. a ：s[ i + 1 ] 与 t[ 1 ] 是否相等
2. b ：s[ i + 1 ] 与 t[ 2 ] 是否相等
3. c ：t[ 1 ] 与 t[ 2 ] 是否相等
4. 在第 i + 1 的位置 s[ i + 1 ] 不变：dp[ i + 1 ][ j ][ k + a ] = max( dp[ i + 1 ][ j ][ k + a ] , dp[ i ][ j ][ k ] + ( b ? k : 0 ) )
5. 在第 i + 1 的位置 s[ i + 1 ] 变为 t[ 1 ] ：dp[ i + 1 ][ j + 1 ][ k + 1 ] = max( dp[ i + 1 ][ j + 1 ][ k + 1 ] , dp[ i ][ j ][ k ] + ( c ? k : 0 ) )
6. 在第 i + 1 的位置 s[ i + 1 ] 变为 t[ 2 ] ：dp[ i + 1 ][ j + 1 ][ k + c ] = max( dp[ i + 1 ][ j + 1 ][ k + c ] , dp[ i ][ j ][ k ] + k )

答案就是 dp[ n ][ j ][ k ] 中取最大值了，n 固定，j ∈ [ 0 , m ] ，k ∈ [ 0 , n ]

考虑初始化：所有状态初始化为负无穷，dp[ 0 ][ 0 ][ 0 ] 初始化为 0 即可

注意细节：因为是每次枚举的 i 向 i + 1 进行的转移，后面的两个方程只有在 j < m 时才能进行

代码：
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
  
typedef long long LL;
  
typedef unsigned long long ull;
  
const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=210;

char s[N],t[N];

int dp[N][N][N];//dp[i][j][k]:到了第i个位置，花费了j次操作，有k个t[1]的最大贡献 

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	memset(dp,-inf,sizeof(dp));
	int n,m;
	scanf("%d%d%s%s",&n,&m,s+1,t+1);
	dp[0][0][0]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=n;k++)
			{
				int a=(s[i+1]==t[1]);
				int b=(s[i+1]==t[2]);
				int c=(t[1]==t[2]);
				dp[i+1][j][k+a]=max(dp[i+1][j][k+a],dp[i][j][k]+(b?k:0));//s[i]不变
				if(j<m)
				{
					dp[i+1][j+1][k+1]=max(dp[i+1][j+1][k+1],dp[i][j][k]+(c?k:0));//s[i]->t[1]
					dp[i+1][j+1][k+c]=max(dp[i+1][j+1][k+c],dp[i][j][k]+k);//s[i]->t[2] 
				}
			}
	int ans=0;
	for(int j=0;j<=m;j++)
		for(int k=0;k<=n;k++)
			ans=max(ans,dp[n][j][k]);
	printf("%d\n",ans);









    return 0;
}