r个桶数量的DGIM算法的错误率上限

r个桶数量的DGIM算法的错误率上限

当允许具有相同大小的桶的数目是1或者2时，错误率上限为50%

故对相同大小的桶的数目,令其为 r-1 或者 r ，对于最大桶和最小桶则数目可以为1~r间的任意一个数。

桶合并规则为：如果大小为 $2^j$ 的桶的数目为r+1,则将最左边的两个桶合并为一个 $2^{j+1}$大小的桶，如果可以继续合并则继续合并直至不能合并。

故当最左边的桶中仅有一个1在查询范围内时，错误率相对来说是最大的，此时查询结果被高估。假设最左边的桶大小为 $2^j$ ,则真实的查询结果至少 (这里用"至少"是指这里假设大小为 $2^j$的桶仅有一个，且右边的桶数量都是r-1,实际上可以有更多，这样真实查询结果会更大，错误率将更低，为了计算上限在此取最少) 应该是：

$1+(r-1)(2^{j-1}+2^{j-2}+...+1)=1+(r-1)(2^j-1)$

由于在此处高估了 $2^{j-1}-1$ 个,

错误率为: $\frac{2^{j-1}-1}{1+(r-1)(2^j-1)}<=\frac{2^{j-1}-1}{(r-1)(2^j-1)}=\frac{1}{r-1}$

故错误率上界为 $\frac{1}{r-1}$ ,因此只要令r足够大，便可以将错误率降至够低，复杂度会增大。