NKOJ P1835 【USACO3.3.5】A Game游戏 IOI‘96

Description

有如下一个双人游戏:N(2 <= N <= 100)个正整数的序列放在一个游戏平台上，游戏由玩家1开始，两人轮流从序列的两端取数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。

编一个执行最优策略的程序，最优策略就是使玩家在与最好的对手对弈时，能得到的在当前情况下最大的可能的总分的策略。你的程序要始终为第二位玩家执行最优策略。

Input Format

第一行: 正整数N, 表示序列中正整数的个数。

第二行至末尾: 用空格分隔的N个正整数（大小为1-200）。

Output Format

只有一行，用空格分隔的两个整数: 依次为玩家一和玩家二最终的得分。

Sample Input

6 
4 7 2 9 5 2

Sample Output

18 11

第一次做博弈论的题，写篇文章纪念一下。

题目说的很清楚，两个玩家执行的均是最优策略。

当时拿到这道题就懵逼了：两个都要最优策略？这怎么动规……

然而仔细想了半天，原来和求一个人最大能取到的值没有多大区别，只是对手从采取最差的策略变成了最好的策略。

为什么可以这样理解呢？原来一个人，也就相当于对手采取了最差的策略（毕竟是在听对手摆布）。

现在两个人了，但是代码一毛一样。

让自己的分数更高，其实相当于让对手的分数最少。

所以我们要明白的是，对于当前区间 $i,j$ ，如果轮到2取数，那么1就不能取到 $max(f_{i,j-1},f_{i+1,j})$，而是 $min(f_{i,j-1},f_{i+1,j})$ ，因为对手采取了最优策略，他让1只能取到其中的较小者。

（1表示很淦）

以下是具体的动规方案，建议自己思考后再看。

状态：

$f_{i,j}$ 表示在区间 $i,j$ 内1能取到的最大值。

决策：

上面已经说过，当轮到自己取时有两个决策： $f_{i,j-1}$ 和 $f_{i+1,j}$ 。

如果轮到对手，1只有一种决策，就是取二者之间的较小值。

状态转移方程：

$f_{i,j}=\begin{cases}max(f_{i,j-1}+ a_j,f_{i+1,j}+a_i)(当轮到1取的时候)\\ min(f_{i,j-1},f_{i+1,j})(当轮到2取的时候)\end{cases}$

阶段：

显然每个状态依赖于他的子区间，那我们需要按照序列长度划分区间。

先初始化， $f_{i,i}$ 当 $n$ 为奇数（轮到1取）时为1，否则为0。

然后，从 $2$ 到 $n$ 枚举序列长度，用 $i$ 表示长度，从 $1$ 到 $n-i+1$ 枚举序列起点。

这道题还有一个问题，就是如何判断当前该1取还是该2取？

当 $n - i + 1$ 为奇数时，显然该 $1$ 取。否则，该 $2$ 取。

伪代码：

for (i,1……n)
	if (n 是奇数) f[i][i] = a[i];
for (i,2……n)
	for (j,1……n-i+1)
		if (轮到1取)
		f[j][序列终点] = max(f[j][序列终点 - 1] + a[序列终点], f[j + 1][序列终点] + a[j]);
		else f[j][序列终点] = min(f[j][序列终点 - 1], f[j + 1][序列终点]);

$Code:$

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int a[105], f[105][105];

int main() 
{
	int n, Sum = 0;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	scanf("%d", a + i), Sum += a[i];//方便计算玩家2的得分
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	if (n & 1) f[i][i] = a[i];//初始化
	for (int i = 2; i <= n; i ++)//枚举序列长度
	for (int j = 1; j <= n - i + 1; j ++)//枚举起点，注意最靠后的起点位置不要算错
	if ((n - i + 1) & 1)//如果轮到1取，取最大值
	f[j][j + i - 1] = max(f[j][j + i - 2] + a[j + i - 1], f[j + 1][j + i - 1] + a[j]);//方程
	else f[j][j + i - 1] = min(f[j][j + i - 2], f[j + 1][j + i - 1]);//否则由于对手采取最优对策，取最小值
	printf("%d %d", f[1][n], Sum - f[1][n]);
	return 0;
}