动态规划由简及繁（一）

动态规划由简及繁（一）

连续子数组最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof

分析：

1. 问题拆解

   求连续子数组的和的最大值。

   假设数组长度为N。

   那么如果知道前N-1子数组的和的最大值Max_n-1，那么到第N个数组的最大值就容易求得了。

2. 状态定义

一维数组。

设以nums[i]为结尾的最大子数组和为dp[i]。

其实看到有很多博文总结的说是以这个条件，但是我个人思考了一段时间，不知道为什么需要这样。因为一般来说，我们更常见的是用dp{i]去记录到i为止整个数组和的最大值，而不是所谓的 以nums[i]为结尾的子数组和的最大值。

我个人的思考是这样的。如果我们选择前者，那么造成的结果就是我们计算的是非连续的，只是整个数组的和的最大值。

那么我们就需要把整个数组看成很多满足前者的情况，也就是说，需要把整个数组看成很多子数组，每个子数组有每个子数组的最大值，我们遍历取最终的最大值即可。当然子数组需要连续。所以才有了后者的状态定义。

3. 转移方程

   考虑Max_i和Max_i-1的关系。

   1. 如果Max_i-1是负数，那么无论nums[i]是正数还是负数，加上一个负数都会比原来更小。所以不要，以当前数字为结尾的最大子数组和应该是自身。
   2. 如果Max_i-1是正数，nums[i]可正可负，是正数没话说，是负数的话，因为我们需要记录的是以当前数字为结尾的最大子数组和，所以我们需要加上前面的值。(加上正数总会比自身大)。

   dp[i] = dp[i - 1] < 0?
       	nums[i]:
   		dp[i - 1] + nums[i];
   

4. 边界条件

   1. 刚开始的以自己结尾的最大值就是自己没错了。

      dp[0] = nums[0];
      

   2. 如果数组长度只有0，直接返回0；只有1，第一个值就是最大的了。

5. 整体代码

   class Solution {
       public int maxSubArray(int[] nums) {
           if (nums.length == 0) {
               return 0;
           }
           if (nums.length == 1) {
               return nums[0];
           }
           
   		int[] dp = new int[nums.length];
           dp[0] = nums[0];
           for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
               dp[i] = dp[i - 1] < 0?
                       nums[i]:
                       dp[i - 1] + nums[i];
           }
           
           int max = dp[0];
           for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
           	if (dp[i] > max) {
                   max = dp[i];
               }
           }
           
           return max;
       }
   }
   

6. 考虑优化

   不必存储所有的子数组的最大和，只把子数组和的最大值存起来，每次比对当前累加的值和最大值的大小并且更新最大值就可以了。

   class Solution {
       public int maxSubArray(int[] nums) {
    		int max = nums[0];
           int res = nums[0];
           
           for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
           	if (res < 0) {
                   res = nums[i];
                   max = Math.max(max, res);
               } else {
                   res += nums[i];
                   max = Math.max(max, res);
               }
           }
           
           return max;
       }
   }