01.神经网络和深度学习 W2.神经网络基础

参考：
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. 二分类

• 判断图片中动物是猫？不是猫？ 特征向量 是 3通道的RGB矩阵 展平
  

2. 逻辑回归

3. 逻辑回归损失函数

几种常见的损失函数

$L\left(\hat{y}^{(i)}, y^{(i)}\right)=-\left(y^{(i)} \log \left(\hat{y}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-\hat{y}^{(i)}\right)\right)$
交叉熵损失函数，常用于二分类问题。

代价函数：

• 所有的样本的损失函数的平均值
  $J(w, b)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} L\left(\hat{y}^{(i)}, y^{(i)}\right)=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left[y^{(i)} \log \left(\hat{y}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-\hat{y}^{(i)}\right)\right]$

目标就是找到合适的参数，使得代价函数最小化

4. 梯度下降

如何寻找合适的 $w，b$ 使得代价函数最小呢？

迭代的过程中，不断的在各参数的偏导数方向上更新参数值， $\alpha$ 是学习率
$\begin{array}{l}w:=w-\alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial w} \\ \\ b:=b-\alpha \frac{\partial J(w, b)}{\partial b}\end{array}$

5. 导数

函数在某一点的斜率，在不同的点，斜率可能是不同的。

6. 计算图导数计算

链式求导法则：

7. 逻辑回归中的梯度下降

$\begin{array}{l}z=w^{T} x+b \\ \hat{y}=a=\sigma(z) \\ \mathcal{L}(a, y)=-(y \log (a)+(1-y) \log (1-a))\end{array}$

sigmoid 函数： $f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
sigmoid 求导：
$\begin{aligned} \frac{\partial f(z)}{\partial z} &=\frac{-1 *-1 * e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}}\\ &=\frac{e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}}\\ &=\frac{1+e^{-z}-1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}}\\ &=\frac{1}{1+e^{-z}}-\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}}\\ &=\frac{1}{1+e^{-z}}\left(1-\frac{1}{1+e^{-z}}\right) \\ &=f(z)(1-f(z))\end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial a} &= -\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a}\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z} &= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial a}\frac{\partial{a}}{\partial z} = \bigg(-\frac{y}{a}+\frac{1-y}{1-a}\bigg)*a(1-a)=a-y\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial w_1} &=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial{z}}{\partial w_1} = x_1(a-y) \quad named \quad dw_1\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial w_2} &=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial{z}}{\partial w_2} = x_2(a-y) \quad named \quad dw_2\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial b} &=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}\frac{\partial{z}}{\partial b} = a-y \quad\quad\quad named \quad db\\ \end{aligned}$

$\begin{array}{l}w_1:=w_1-\alpha *dw_1 \\ w_2 :=w_2-\alpha *dw_2 \\ b:=b-\alpha* db\end{array}$

8. m个样本的梯度下降

假设有m个样本，样本有2个特征

// 伪代码 from http://www.ai-start.com/dl2017/html/lesson1-week2.html
J=0; dw1=0; dw2=0; db=0;
for i = 1 to m
    z(i) = wx(i)+b;
    a(i) = sigmoid(z(i));
    J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))];
    dz(i) = a(i)-y(i);
    dw1 += x1(i)dz(i); // 全部样本的梯度累加
    dw2 += x2(i)dz(i);
    db += dz(i);
    
// 求平均值
J /= m;
dw1 /= m;
dw2 /= m;
db /= m;

// 更新参数 w, b
w = w - alpha*dw
b = b - alpha*db

• 显式的使用 for 循环是很低效的，要使用向量化技术 加速计算速度

9. 向量化

使用 numpy 等库实现向量化计算，效率更高

import numpy as np #导入numpy库
a = np.array([1,2,3,4]) #创建一个数据a
print(a)
# [1 2 3 4]
import time #导入时间库
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000) #通过round随机得到两个一百万维度的数组

tic = time.time() #现在测量一下当前时间
#向量化的版本
c = np.dot(a,b)
toc = time.time()
print(c)
print('Vectorized version:' + str(1000*(toc-tic)) +'ms') #打印一下向量化的版本的时间

#继续增加非向量化的版本
c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):
    c += a[i]*b[i]
toc = time.time()
print(c)
print('For loop:' + str(1000*(toc-tic)) + 'ms')#打印for循环的版本的时间

上面例子，向量化计算快了600多倍

250241.79388712568
Vectorized version:0.9975433349609375ms
250241.7938871326
For loop:687.734842300415ms

10. 向量化的更多例子

J=0; db=0;
dw = np.zeros((nx,1)) // numpy向量化
for i = 1 to m
    z(i) = wx(i)+b;
    a(i) = sigmoid(z(i));
    J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i))log(1-a(i))];
    dz(i) = a(i)-y(i);
    dw += x(i)dz(i); // 向量化，全部样本的梯度累加
    db += dz(i);
    
// 求平均值
J /= m;
dw /= m;// 向量化
db /= m;

// 更新参数 w, b
w = w - alpha*dw
b = b - alpha*db

这样就把内层的 dw1,... dwn 的计算使用向量化了，只用1层 for 循环，还可以做的更好，往下看

11. 向量化 logistic 回归

逻辑回归前向传播步骤：

• 对每个样本进行计算
  $z^{(1)}=w^{T} x^{(1)}+b$
• 计算激活函数，得到预测值 y`
  $a^{(1)} = \sigma(z^{(1)})$

可以使用 numpy 来计算：

• $Z = np.dot(w^T, X)+b$，+ b 会对每个元素操作，是 numpy 的广播机制
• $A=\left[a^{(1)} a^{(2)} \ldots a^{(m)}\right]=\sigma(Z)$

这样就没有显式使用 for 循环，计算非常高效

12. 向量化 logistic 回归梯度输出

$\begin{array}{l}Z=w^{T} X+b=n p . d o t(w . T, X)+b \\ A=\sigma(Z) \\ d Z=A-Y \\ d w=\frac{1}{m} * X * d Z^{T} \\ d b=\frac{1}{m} * n p . sum(d Z) \\ w:=w-a * d w \\ b:=b-a * d b\end{array}$

非向量化、向量化对比：

• 这样就向量化的计算，完成了逻辑回归的 1 次迭代，要完成 n_iter 次迭代就在外层加一层 for 循环，这个 for 是省不了的

13. numpy 广播机制

import numpy as np

A = np.array([
    [56, 0, 4.4, 68],
    [1.2, 104, 52, 8],
    [1.8, 135, 99, 0.9]
])

cal = A.sum(axis=0)  # 按列求和
print(cal)

percentage = 100 * A / cal.reshape(1, 4)
print(percentage)

[ 59.  239.  155.4  76.9]
[[94.91525424  0.          2.83140283 88.42652796]
 [ 2.03389831 43.51464435 33.46203346 10.40312094]
 [ 3.05084746 56.48535565 63.70656371  1.17035111]]

axis指明运算 沿着哪个轴执行，在numpy中，0轴是垂直的，也就是列，而1轴是水平的，也就是行

• 例1

A = np.array([[1, 2, 3, 4]])
b = 100
print(A+b)

[[101 102 103 104]]

• 例2

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([100, 200, 300])
print(A+B)

[[101 202 303]
 [104 205 306]]

• 例3

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([[100], [200]])
print(A + B)

[[101 102 103]
 [204 205 206]]

• 广播机制与执行的运算种类无关

14. 关于 python / numpy 向量的说明

• 总是使用 nx1 维矩阵（列向量），或者 1xn 维矩阵（行向量）
• 为了确保所需要的维数时，不要羞于 reshape 操作

作业

01.神经网络和深度学习 W2.神经网络基础（作业 - 逻辑回归 图片识别）

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