CF27E Number With The Given Amount Of Divisors 题解

博客园同步

原题链接

简要题意：

求最小的有 $n$ 个因数的数 $s$。 $n \leq 10^3$ ,保证 $s \leq 10^{18}$.

考虑质因数分解：

$s = \prod_{i=1}^k p_i^{a_i}$

$p_i$ 为质数。那么 $s$ 的因数个数就会是

$\prod_{i=1}^k (a_i + 1)$

考虑最大的 $p_i$ 会是几呢？

$2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 = 614889782588491410$，约为 $6.1 \times 10^{17}$，所以 $p_i$ 最大为 $53$.

考虑搜索从大到小枚举当前 $p_i$ 的指数，并计算当前的因数个数与 $s$.

具体代码具体分析：

inline void dfs(ll dep,ll temp,ll num,ll last) {
	//dep 是当前搜索的素数编号 , temp 是当前的数 , num 是 temp 的因数个数 , last 表示当前最大的指数
	if(num>n || dep>16) return; //超出范围
	if(num==n && ans>temp) {
		ans=temp; return; //更新答案
	} for(int i=1;i<=last;i++) {
		if(temp/p[dep]>ans) break; //最优性剪枝
		dfs(dep+1,temp=temp*p[dep],num*(i+1),i); //往下走一层
	}
}

$p$ 是提前打好的素数表，只需要打 $16$ 个。

dfs(0,1,1,64);

最后输出 $\text{ans}$ 即可得到答案。

时间复杂度： $\mathcal{O}(\text{wys})$.

实际得分： $100pts$.

细节：

你可能需要 $\text{unsigned long long}$，因为答案溢出最大可以到 temp * p[dep]， $\text{long long}$ 应该不能过。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
 
typedef unsigned long long ll;
#define INF ~0LL
ll p[16]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
 
ll n,ans;
inline void dfs(ll dep,ll temp,ll num,ll last) {
	if(num>n || dep>16) return;
	if(num==n && ans>temp) {
		ans=temp; return;
	} for(int i=1;i<=last;i++) {
		if(temp/p[dep]>ans) break;
		dfs(dep+1,temp=temp*p[dep],num*(i+1),i);
	}
}
 
int main(){
	ans=INF;
	n=read();
	dfs(0,1,1,64);
	printf("%llu\n",ans);
	return 0;
}