高级算法设计--条件期望去随机化

笔记来源：高级算法设计（孙晓明老师部分）
CPSC 536N: Randomized Algorithms
https://www.cs.ubc.ca/~nickhar/W12/Lecture16Notes.pdf

本节主要学习了如何通过去随机化将i随机算法转化为确定性算法,即先设计一个较好的随机算法，其输出值 $E(Y)\ge u$,然后去随机化，使得一个近似算法
$f(x_1,x_2,\dots,,x_n)=E(Y(X_1,X_2,\dots,X_n)|(x_1,\dots,x_n))>u$

应用

1. perfect matching
2. Max-cut
3. Max-SAT

1 Method of Conditional Expectations

其应用于求解最大割算法https://blog.csdn.net/qq_38662930/article/details/105138528
期望去随机化可能用来求解 $f(x_1,\dots,x_n)<=E(f(X_1,\dots,X_n))或\\ f(x_1,\dots,x_n)\ge E(f(X_1,\dots,X_n))$
证明等式一,假如已经通过穷举求得 $E(f(x_1,\dots,x_{i-1},X_i,\dots,X_n))$
为便于说明不访设 $X_i\in{0,1}$
$E(f(X_1,\dots,X_n))=Pr(X_i=0)E(f(x_1,\dots,x_{i-1},X_i=0,\dots,X_n))+\\Pr(X_i=1)E(f(x_1,\dots,x_{i-1},X_i=1,\dots,X_n))\ge E(f(x_1,\dots,x_{i-1},X_i=0,\dots,X_n))\\ \geq f(x_1,x_2,\dots,x_n)$
注意的是这里要求各个变量是相互独立的