DTW(Dynamic Time Warping)算法

变量定义

1.warping function

$$F=c(1),c(2)...c(k)...c(K)$$
其中 $c(k)=(i(k),j(k))$
表示两个语音特征序列A和B之间的映射关系。
2.time-normalized distance
$$D(A,B)=Min_F[\frac{\sum_{k=1}^K d(c(k))\cdot w(k)}{\sum_{k=1}^K w(k)}]$$
其中 $\sum w(k)$用来归一化不同路径的K大小不一致的问题， $d()$表示两个特征向量之间的距离。

warping function的限制条件

1.单调性

$$i(k-1)\le i(k)\ and\ j(k-1) \le j(k)$$
2.连续性
$$i(k)-i(k-1) \le 1 \ and\ j(k)-j(k-1)\le 1$$
由以上两个条件限制了只能向三个方向移动，向上/向右/向右上，而且每次只能移动一步
3.边界条件
$$i(1)=1, j(1)=1\ and\ i(K)=I,j(K)=J$$
4.窗口限制
$$|i(k)-j(k)|\le r$$
加窗为了将对齐路径限制在对角线附近。
5.斜率限制
$$P=n/m$$
避免在横轴i方向或纵轴j方向走的太偏,当在一个方向走了m步以后，需要在对角线方向走n步。

权重系数w

有两种典型的计算方式
1.对称形式

$$w(k)=(i(k)-i(k-1))+(j(k)-j(k-1))$$
$$N=\sum_{k=1}^K w(k)=I+J$$
2.非对称形式
$$w(k)=(i(k)-i(k-1))$$
$$N=\sum_{k=1}^K w(k)=I$$
在j方向也一样。
对称形式的效果更好。

DP求解

假设使用对称形式的权重系数，不使用斜率限制
- 初始条件

$$g(1,1)=2d(1,1)$$
- DP
$$g(i,j)=min[g(i,j-1)+d(i,j)，\ g(i-1,j-1)+2d(i,j)，\ g(i-1,j)+d(i,j)]$$
其中窗口限制条件 $j-r\le i\le j+r$
- 距离
$$D(A,B)=\frac{1}{I+J}g(I,J)$$

算法流程图如下：

Reference

Dynamic Programming Algorithm Optimization for Spoken Word Recognition