UVA - 11440 Help Tomisu（欧拉函数）

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本题确实是比较难想的，需要一定的数论思维能力：

首先因为 $M\leq N$，因此 $N!$是 $M!$的整数倍，所有质因子都大于 $M$等价于和 $M!$互质。然后根据最大公因数的性质 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b),a>b$，大于 $M!$的数当且仅当模 $M!$与 $M!$互质才可以，问题转化为求 $M!$的 $\phi$值

接下来是欧拉函数比较重要的性质：

• 若 $k$是素数，有 $phi(kn)= (k-1)*phi(n)$；否则 $phi(kn)= k*phi(n)$

该性质的由来LRJ也已经解释

然后为什么乘 $\frac{N!}{M!}$，这里需要分块的思想，也就是我们求的是大于 $M!$的个数，但是有多少个这样的部分，也就是 $\frac{N!}{M!}$，笔者写到这里仍然有些疑惑，但是网上已经没有资料可查询了，就这样半懂不懂吧

代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double dinf=1e300;
const ll INF=1e18;
const int Mod=1e8+7;
const int maxn=1e7+10;

bool isprime[maxn];
ll phi[maxn];

void euler(){
    memset(isprime,1,sizeof isprime);
    isprime[0]=isprime[1]=0;
    int m=sqrt(maxn+0.5);
    for(int i=2;i<m;i++){
        if(isprime[i]){
            for(int j=i*i;j<maxn;j+=i) isprime[j]=0;
        }
    }
}

void init(){
    phi[1]=phi[2]=1;  //phi(1)=1完全是为了特判m=1的情况
    for(int i=3;i<maxn;i++)
        phi[i]=phi[i-1]*(isprime[i]?i-1:i)%Mod;
}

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n,m;
    euler();
    init();
    while(cin>>n>>m && n){
        ll ans=phi[m];
        for(int i=m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%Mod;
        cout<<ans-1<<"\n";
    }
    return 0;
}