UVA 11440 - Help Tomisu（数论好题）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-11440

【题意】
输入整数 $n$ 和 $m$ ，统计区间 $[2,n!]$ 之间有多少个整数 $x$ 满足 $x$ 的所有素因子都大于 $m \ (2<=n<=10^7,1<=m<=n,n-m<=10^5)$ 答案对 $100000007$ 取模

【思路】
首先 $m<=n$ 所以 $n!$ 是 $m!$ 的整数倍，而且 一个数的所有素因子都大于m 等价于 这个数和m！互素 ，而且根据gcd的性质，对于$k>m!, k$ 与 $m!$ 互素等价于 $k \ mod m!$ 和 $m!$ 互素. 这样一来，只要求出“不超过 $m!$ 且和 $m!$ 互素的数的个数” 再乘以 $\frac{n!}{m!}$ 即可，关键就在于求出 $phi(m!)$ 设 $phifac(n)=phi(n!)$ 根据欧拉函数公式

$$phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})$$
如果 $n$ 不是素数，那么 $n!$ 和 $(n-1)!$ 的素因子集合完全相同， $$phifac(n)=phifac(n-1)×n$$
如果 $n$ 是素数，还会多一项 $(1-\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n}$ 约分得 $$phifac(n)=phifac(n-1)×(n-1)$$ 还要特别注意 $m=1$的情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mod=100000007;
const int maxn=10000005;

int fac[maxn];
int invfac[maxn];
int phifac[maxn];
bool notprime[maxn];
int n,m;

void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){
    if (0==b){ d=a;x=1;y=0; }
    else { gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b); }
}

ll inv(ll a,ll p){
    ll d,x,y;
    gcd(a,p,d,x,y);
    return d==1?(x+p)%p:-1;
}

void init(){
    notprime[0]=notprime[1]=true;
    for(int i=2;i<maxn;++i){
        if(!notprime[i]) for(int j=i*2;j<maxn;j+=i) notprime[j]=true;
    }
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*(ll)i%mod;
    for(int i=0;i<maxn;++i) invfac[i]=inv(fac[i],mod);
    phifac[1]=phifac[2]=1;
    for(int i=3;i<maxn;++i){
        phifac[i]=(ll)phifac[i-1]*(ll)(notprime[i]?i:i-1)%mod;
    }
}

int main(){
    init();
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        if(0==n && 0==m) break;
        int ans=phifac[m];
        ans=(ll)ans*(ll)fac[n]%mod;
        ans=(ll)ans*(ll)invfac[m]%mod;
        printf("%d\n",(ans-1+mod)%mod);
    }
    return 0;
}