UVA - 1642 Magical GCD（区间gcd性质）

传送门

---

单看LRJ的思路不太能完全解决该题，还有一些点必须要想到

• 为什么不同的 $gcd$的值最多只有 $log(max\{a[i]\}))$个？考虑 $gcd$的性质，设 $x=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...,y=p_1^{b_1}*p_2^{b_2}...$，那么 $gcd(x,y)=p_1^{min(a_1,b_1)}*p_2^{min(a_2,b_2)}...$，此时考虑再加入一个数 $z$求 $gcd$，如果要发生变化 $p_1,...,p_n$对应的 $min$至少有一个需要减少，然后因为最小的质因数为 $2$，那么最多减少 $log$次就变成了 $1$，因此复杂度证明由此而来

考虑枚举右界 $j$，我们只需每次和之前出现的 $gcd$再求出新的 $gcd$并更新答案，因为 $gcd$是单调不增的，而下标从小到大是单调递增的，因此如果出现相同的 $gcd$只需保留之前的下标才能是答案尽可能的大，其他细节见代码

#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double dinf=1e300;
const ll INF=1e18;
const int Mod=1e9+7;
const int maxn=2e5+10;

ll a[maxn];
ll mg[105],pos[105];

inline ll gcd(ll a,ll b){ return !b?a:gcd(b,a%b); }

int main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    //ios_base::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int t,n,cnt;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        ll ans=0;
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            ans=max(ans,a[i]);  //特判一个数是否为最优解
            for(int j=1;j<=cnt;j++){  //枚举之前的gcd
                mg[j]=gcd(mg[j],a[i]); 
                if(mg[j]==mg[j-1]){  //如果出现相同则整体左移
                    for(int k=j;k<cnt;k++)
                        mg[k]=mg[k+1],pos[k]=pos[k+1];
                    cnt--,j--;
                }else ans=max(ans,(i-pos[j]+1)*mg[j]);  //否则更新答案
            }
            mg[++cnt]=a[i],pos[cnt]=i;  //将这个数插入
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}