[编译原理随记]正则表达式转为NFA状态图(Thompsion构造法)

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[编译原理随记]正则表达式记号和状态图：https://blog.csdn.net/qq_28033719/article/details/107067798

[编译原理随记]NFA转DFA子集构造算法：https://blog.csdn.net/qq_28033719/article/details/107068996

准备知识

语法制导：

解析（parse）输入的字符串时，在特定位置执行指定的动作。

语法制导算法：

其实就本文内容，解析字符串是什么状态（像>=通常弄个状态图，如果是关键字弄个表暂存比较适合）来说，这个算法相当于对字符串每一个字符进行下一个状态判断，就是 switch(string.charAt(i))这样逐个处理。

NFA状态数 = 正则表达式的 (符号 + 操作符数) * 2：

正则里面常有的运算符 *，| ，连接符

1、输入 ε 和 a（符号），NFA状态图为：

状态数都是 2 = 1（符号数为1） * 2

2、输入 s|t ，NFA状态图为：

状态数是 6 = 3(符号数2 + 操作数1) * 2

3、s*，NFA状态图为：

状态数是 4 = 2(符号数1 + 操作符数1) * 2

所以每多一个符号数或者操作符数，对原图新增的状态数最多2。

出边入边，出度入度：

前后者概念相近，出边入边本文指状态 A 转到下一个状态的边（ $A\overset{a}{\rightarrow}$ ）为出边，进入状态A的边（ $\overset{a}{\rightarrow}A$ ）为入边.

而后者相对分化一点，就是专指有向图的出边数（ $A\overset{a}{\rightarrow}$ 的出边数量）和入边数（ $\overset{a}{\rightarrow}A$ 的入边数量）

NFA三点性质：

1、NFA状态数 = 正则表达式的 (符号 + 操作符数) * 2

2、开始状态无入边，终结状态无出边

3、每个状态有一个[A-Za-z0-9]出边，或者至多两个 ε

Thompsion构造法

例题：将正则表达式 (a|b)*abb 变为 NFA

先将复合正则变为最基本的子表达式，然后进行语法制导（一步一步来）。

1、先处理优先度高的组合 (a | b)，首先开始无入边，终结无出边，然后状态有一个字符出边，或者至多两个 ε

2、处理 (a|b)*，一样，根据 NFA 三性质得出，6 -> 1 状态代表循环输入，1 不能作为开始（有入边）6不能作为终结（有出边）：

3、再把 abb 拼上去就行了：

3展示的就是从正则 (a|b)*abb 转的状态图。

模拟NFA

用双栈模拟：

因为 ε-closure(move(T , a))， T代表一个状态集合比如T={1,2}

然后S = ε-closure(move(T , a))， S代表T移动a之后的集合比如 S={3,4}，T S都是多个元素，不是一个确定状态（DFA就是一个）。

所以使用两个栈（存储方面可以理解为数组，只是crud操作不同），存放 S、T 两种状态的转换（因为状态不确定，所以下一个状态是一个集合）

具体算法是：

S := ε-closure(0);
a := nextchar; // 理解为超前标记
while a != eof do begin
    S := ε-closure(move(S , a));
    a := nextchar;
end

// F 为终结集合
if S != F then
    return "no";
return "yes";

当然，将 NFA -> DFA也可以不过，这两者都需要衡量空间复杂度和时间复杂度。

DFA 和 NFA 时间空间衡量

NFA 空间是 <= 正则表达式的 (符号 + 操作符数) * 2

DFA 空间是 <= 2 ^ n (n为(a|b)数量，因为这个或运算使用状态数最多，所以推断任意数量 符号 + 操作符数)

NFA 时间复杂度 = 正则表达式的 (符号 + 操作符数) * X（输入的字符串长度，因为每个字符串都匹配）

DFA 时间复杂度 = X（因为每个字符都有一个确定状态，不用遍历）