基于Simulink的一阶、二阶系统动态响应分析

Simulink是MATLAB中的一个建立系统方框图和基于方框图的系统仿真环境的工具，是一个对动态系统进行建模、仿真和仿真结果可视化分析的软件包。Simulink采用基于时间流的链路级仿真方法，将仿真系统建模与工程中通用的方框图设计方法统一起来，可以更加方便地对系统进行可视化建模，并且仿真结果可以近乎“实时”地通过可视化模块，如示波器模块、频谱仪模块以及数据输入输出模块等显示出来，使系统设计、仿真调试和模型检验工作大为简便。

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一阶系统

建立一阶系统典型数学模型：
$G(s) = \frac 1{Ts+1}$

一阶系统的单位脉冲响应

单位脉冲响应：

单位脉冲响应是指一个无穷大的瞬时冲击，并且其在时间轴上的积分为 1，而 t 趋向于零

一阶系统的单位脉冲响应连接图：

运行结果图：

如果将上述各指数曲线衰减到初值的2%之前的过程定义为过度过程，则可由 $w(t)=\frac 1T e^{-t/T}$ 算得过度过程对应的时间为 4T。当 T=1 时，曲线接近于 0 时 t=4s；当 T=2 时，曲线接近于 0 时 t=8s；符合式子的结果

由此可见，系统的时间常数 T 愈小，其过度过程的持续时间愈短。这表明系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性能愈好

一阶系统的单位阶跃响应

单位阶跃输入信号：

单位阶跃信号的自变量取值大于0时，函数值为1；自变量取值小于0时，函数值为0

一阶系统的单位阶跃响应连接图：

运行结果图：

由图可知，指数曲线的斜率，即一阶系统的响应速度 $x'(t)$ 是随时间 t 的增大而单调减少的。当 t 为 $\infty$ 时，其响应速度为 0；当 $t\geq4T$ 时，一阶系统的响应已达到稳态值的 98% 以上。与单位脉冲响应的情况一样，系统的过度时间 t=4T。

可见，时间常数 T 确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快

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二阶系统

建立二阶系统典型数学模型：
$G(s)=\frac {w_n^2}{s^2+2\xi w_n+w_n^2}$

二阶系统的单位脉冲响应

这里只列举 $0<\xi<1$（欠阻尼）时的连接图：

运行结果图：

由图可知，欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且 $\xi$ 愈小，衰减愈慢，振荡频率愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢程度取决于 $\xi w_n$

二阶系统的单位阶跃响应

一阶系统的单位阶跃响应连接图:

运行结果图：

$\xi<1$ 时，二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程为衰减振荡，并且随着阻尼 $\xi$ 的减少，其振荡特性表现得愈加强烈；当 $\xi=0$（无阻尼）时达到等幅振荡；在 $\xi=1$（临界阻尼）时和 $\xi>1$（过阻尼）时，二阶系统的过渡过程具有单调上升的特性

从过渡过程的持续时间来看，在无振荡单调上升的曲线中，以 $\xi=1$ 时的过渡时间t最短

在欠阻尼系统中，当 $\xi=0.4～0.8$ 时，不仅其过渡过程时间比 $\xi=1$ 时的更短，而且振荡不太严重。因此，一般希望二阶系统工作在 $\xi=0.4～0.8$ 的欠阻尼状态，因为这个工作状态有一个振荡特性适度而持续时间又较短的过渡过程