量子计算入门学习笔记 （八—— 密度算符 ）

hello，大家好，如果您是第一次观看我的博客，如果您也是和我一样刚入门量子力学或是量子计算相关的学习，纠结于量子计算的抽象与晦涩难懂，那么本专栏（量子计算）一定是您的不二之选，学海本就苦，愿你有甜馨，如果觉得本人有错误的请直接在评论区留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，点点赞，另外，本专题是每周一更或二更，有需要的小伙伴可以点点专注！

一 . 密度算符引入，系综，纯态与混合态

(1) 系综与密度算符

密度算符(也称为密度矩阵) 是对量子态的一种不同的描述方法。用密度算符描述量子系统在数学上完全等价于用状态向量描述(即所有量子力学的假设都可以用密度算符的语言重新描述), 但密度算符在描述未知量子系统和复合系统子系统方面更具有优越性。

我们先来通过 “系综” 这个概念间接的理解什么是密度算符( The density operator)

定义： 设量子系统以概率 $p_{i}$ 处于状态 $|\phi_{i}\rangle$，则称 $\left \{ p_{i},|\phi_{i}\rangle\right \}$ 为一个系综，其中 $p_{i}\geqslant 0$ , 且 $\sum_{i}p_{i}= 1$

这个名字虽然起的非常的 “丑” ，但是丝毫也没有影响我们认为它简单！这里有点集合的那种感觉，其实就是把概率值和状态组合在一起而已！

在系综的引导下，我们将密度算子定义为：
$\rho=\sum_{i} p_{i}\left|\phi_{i}\right\rangle\left\langle\phi_{i}\right|$
本质上它是一个迹为1 的半正定厄米算子！

(2) 纯态与混合态

检测你九年义务教育是否合格的时候到啦！初中化学课本上 首次向我们介绍了 物质的分类，其中的纯净物与混合物 可以很好的类比到这里来，，虽没有那么简单，但是那种只可意会不可言传的思想还是在的。下面，且听老夫慢慢道来！

量子纯态 指的是可以用一个态矢量（含叠加态）描述的状态，也即在密度算子的定义中系统以概率 1 处于的状态！

例如： $|\varphi\rangle = |0\rangle$，或者 $|\psi\rangle = (|0\rangle + |1\rangle)/ \sqrt{2}$ 都是量子纯态！

量子混合态： 如果一个量子系统是由许多 N 个 态矢量描述的子系统构成，每个子系统 以确定的几率出现，则其称为混合系综，也叫混合态！即 $|\psi_{1}\rangle ,p_{1} ;|\psi_{2}\rangle ,p_{2}; \cdots;|\psi_{n}\rangle ,p_{n};$

混合态与 纯态的叠加态区别在于：

• 当混合态中的 $|\psi_{i}\rangle$ 构成正交归一集时,即：
  $|\psi\rangle = \sqrt{P_{1}}|\psi_{1}\rangle + \sqrt{P_{2}}|\psi_{2}\rangle + \cdots + \sqrt{P_{N}}|\psi_{N}\rangle = \sum_{i=1}^{N}\sqrt{P_{i}}|\psi_{i}\rangle$也是系综中一个可能的量子态时，则为量子纯态！
• $tr(\rho_{纯}^{2})=1; tr(\rho_{混}^{2})< 1$

其实第二个规律还是比较好理解的，在分开的混合态中 一个为 1/2，另一个也为1/2 ，相加为1，但是二者平方后再相加就不是 1 了！

二. 某力学量在纯态与混合态上的区别

我们为了更加理性定量的去理解学习，这里我们用两种方法考察一个力学量 $\boldsymbol{F}$ 在纯态与混合态上的区别，

(1) 法一:

假设某个算符 $\boldsymbol{\widehat{F}}$ 满足：

$\boldsymbol{\widehat{F}} |\varphi_{i}\rangle = f_{1}|\varphi_{i}\rangle$
这个公式与线性代数中的特征方程本质上一模一样，各关键词就不介绍了！
（1）对于纯态 $|\psi\rangle=c_{1}\left|\psi_{1}\right\rangle+c_{2}\left|\psi_{2}\right\rangle$ ，其取 $f_{i}$ 的概率为 ：
$p\left(f_{i}\right)=\left|\left\langle\varphi_{i} \mid \psi\right\rangle\right|^{2}=\left|c_{1}\left\langle\varphi_{i} \mid \psi_{1}\right\rangle+c_{2}\left\langle\varphi_{i} \mid \psi_{2}\right\rangle\right|^{2}$
（2） 对于混合态，根据定义易得：
$p\left(f_{i}\right)=\left|\left\langle\varphi_{i} \mid \psi_{1}\right\rangle\right|^{2} p_{1}+\left|\left\langle\varphi_{i} \mid \psi_{2}\right\rangle\right|^{2} p_{2}$
如果我们将其转移到坐标表象下：

（1）纯态时， $\psi(x) = c_{1}\psi_{1}(x) + c_{2}\psi_{2}(x)$,取在 $x_{0}$ 处的概率为：
$p(x_{0}) = \left | \psi(x_{0})\right |^{2} = \left | c_{1}\psi_{1}(x_{0})+c_{2}\psi_{2}(x_{0}) \right |^{2}$
（2）在混合态上时：
$p(x_{0}) = p_{1}\left |\psi_{1}(x_{0})\right|^{2} + p_{2}\left |\psi_{2}(x_{0})\right|^{2}$
这里可以更加直观的看到，混合下，无干涉现象发生，纯态时有干涉情况发生，其又称为相干叠加！

(1) 法二:

我们计算某一力学量算符 $\boldsymbol{\widehat{F}}$ 在纯态和混合态中的平均值，也可以清晰的看出纯态和混合态之间的联系与区别：

（1） $\boldsymbol{\widehat{F}}$ 在纯态 $|\Psi\rangle$ 下的平均值为：
$\bar{F}=\langle\Psi|\hat{F}| \Psi\rangle=\sum_{i}\left|C_{i}\right|^{2}\left\langle\Psi_{i}|\hat{F}| \Psi_{i}\right\rangle+\sum_{i \neq j} C_{i} C_{j}\left\langle\Psi_{i}|\hat{F}| \Psi_{j}\right\rangle$
（2）在混合态中的平均值为：
$\bar{F}=\sum_{i=1}^{N}P_{i}\left\langle\Psi_{i}|\hat{F}| \Psi_{i}\right\rangle$

在（1）中等式最右边的就是干涉项，（2）式中无此项！

三. 密度算符的性质

（1）性质一：

最简单有用的性质就是我们前面刚说过的：
$tr \rho^{2}\left\{\begin{matrix} =1 & \Rightarrow 纯态 \\ <1 & \Rightarrow 混合态 \end{matrix}\right.$

这个性质可以作为我们对密度矩阵的判定定理！
纯态的本质是 概率幅的叠加。
混合态的本质是 概率数值的相加。

（2）性质二：

密度矩阵属于厄米算符！ ，算一下就知道：
$\rho^{\dagger}=\left(\sum_{i} p_{i}\left|\phi_{i}\right\rangle\left\langle\phi_{i}\right|\right)^{\dagger}=\sum_{i} p_{i}\left|\phi_{i}\right\rangle\left\langle\phi_{i}\right|=\rho$自然，它也就和厄米算符一样满足 共轭转置等于本身, $\rho^{\dagger}\rho =I$ 等一系列性质！

如果某混合态是由一系列相互正交的态所构成的，那么其密度矩阵的本征态就是 这些相互正交的态 $|\phi_{i}\rangle$ ,相对应的本征值也就是各自的概率 $p_{i}$ ,即：
$\rho|\phi_{i}\rangle = p_{i}|\phi_{i}\rangle$

（3）性质三：

密度矩阵h还是半正定的！

我先带大家来复习什么是半正定?

矩阵 $A$正定是指, 对任意的X≠0恒有 $X^{T}AX >0$
矩阵 $A$半正定是指, 对任意的X≠0恒有 $X^{T}AX\geqslant 0$（不要弄混淆！）

我们用一条长式就可完成证明！
$\langle\phi|\rho| \phi\rangle=\left\langle\phi\left|\left(\sum_{i} p_{i}\left|\phi_{i}\right\rangle\left\langle\phi_{i}\right|\right)\right| \phi\right\rangle=\sum_{i} p_{i}\left\langle\phi \mid \phi_{i}\right\rangle\left\langle\phi_{i} \mid \phi\right\rangle=\sum_{i} p_{i}\left|\left\langle\phi \mid \phi_{i}\right\rangle\right|^{2} \geqslant 0$

本次博客学习就到这里的了，大家下期再见！